概率统计教案2

试求概率P(X?).

解 略。

4、二元正态分布

如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)21exp{?[?2??]},???x,y???22(1??2)?12?1?2?21??2r2p(x,y)?2则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).其中五个参数的取值

范围分别是：????1,?2???;?1,?2?0;?1???1.

以后将指出：?1,?2分别是X与Y的均值，?12,?22分别是X与Y的方差，?是X与

Y的相关系数。

2例3.1.7 设二维随机变量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).求(X,Y)落在区域

D?{(x,y):(x??1)2?21?2?(x??1)(y??2)?1?2?(y??2)2?22??2}内的概率。

解 略。

注 凡是与正态分布有关的计算一般需要作变换简化计算。

3.2 边际分布与随机变量的独立性

一、边际分布函数

1、二维随机变量(X,Y)中

X的边际分布 FX(x)?P(X?x)?P(X?Y的边际分布 FY(y)?F(??,y )x,Y???)?limF(x,y?)y???F(x,? ?2、在三维随机变量(X,Y,Z)的联合分布函数F(x,y,z)中，用类似的方法可得到更多的边际分布函数。

例3.2.1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

?1?e?x?e?y?e?x?y??xy,x?0,y?0, F(x,y)??0,其他?这个分布被称为二维指数分布，求其边际分布。

解 略。

注 X与Y的边际分布都是一维指数分布，且与参数??0无关。不同的??0对应不

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同的二维指数分布，但它们的两个边际分布不变，这说明边际分布不能唯一确定联合分布。

二、边际分布列

二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为 {P(X?xi,Y?yj)}

X的边际分布列 P(X?xi)??P(X?xi,Y?yj),i?1,2,???

j?1??Y的边际分布列 P(Y?yj)??P(X?xi,Y?yj),j?1,2,???

i?1??三、边际密度函数

如果二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，因为

FX(x)?F(x,??)??(???x????p(u,v)dv)du,FY(y)?F(??,y)??(?????y????p(u,v)du)dv,

所以相应的边际密度

'pX(x)?FX(x)??????p(x,y)dy,pY(y)?FY'(y)?F(??,y)????p(x,y)dx.

例3.2.3设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?1,0?x?1,y?x; p(x,y)??0,其他.?试求：（1）边际密度函数pX(x)和pY(y)；（2）P(X?解 略。

四、随机变量间的独立性

定义3.2.1 设n维随机变量(X1,X2,???,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,???,xn)，

11)及P(Y?)。 22Fi(xi)为Xi的边际分布函数。如果对任意n个实数x1,x2,???,xn，有

F(x1,x2,???,xn)??Fi(xi)

i?1n则称X1,X2,???,Xn相互独立。

（1）在离散随机变量场合，如果对任意n个取值x1,x2,???,xn，有

P(X1?x1,X2?x2,???,Xn?xn)??P(Xi?xi)

i?1n则称X1,X2,???,Xn相互独立。

（2）在连续随机变量场合，如果对任意n个取值x1,x2,???,xn，有

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p(x1,x2,???,xn)??pi(xi)

i?1n则称X1,X2,???,Xn相互独立。

例3.2.7设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?8xy,0?x?y?1, p(x,y)??0,其他.?问X与Y是否相互独立？

分析 为判断X与Y是否相互独立，只需看边际密度函数之积是否等于联合密度函数。 解 略。

3.3 多维随机变量函数的分布

一、多维离散随机变量函数的分布

以二维为例讨论，设二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj),Z?f(X,Y), 随机变量

Z的取值为zk. 令Ck?{(xi,yj):f(xi,yj)?zk}，则

P(Z?zk)?P(f(xi,yj)?zk)?P((xi,yj)?Ck)?(xi,yj)?Ck?pij.

例3.3.2（泊松分布的可加性）设X~P(?1),Y~P(?2), 且X与Y相互独立。证明

Z?X?Y~P(?1??2).

证明：略。

注 证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有

P(?1)?P(?2)?????P(?n)?P(?1??2??????n).

例3.3.3（二项分布的可加性）设X~b(n,p),Y~b(m,p),且X与Y相互独立。证明

Z?X?Y~b(m?n,p).

证明 略。

注（1）该性质可以推广到有限个场合

b(n1,p)?b(n2,p)?????b(nk,p)?b(n1?n2?????nk,p)

（2）特别当n1?n2?????nk?1时，b(1,p)?b(1,p)?????b(1,p)?b(n,p) 这表明，服从二项分布b(n,p)的随机变量可以分解成n个相互独立的0-1分布的随机

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变量之和。

二、最大值与最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）设X1,X2,???,Xn是相互独立的n个随机变量，若

Y?max(X1,X2,???Xn).设在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i?1,2,???,n; （4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.

解 略。

注 这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）设X1,X2,???,Xn是相互独立的n个随机变量；若

Y?min(X1,X2,???Xn)，试在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i?1,2,???,n; （4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.

解 略。

注 这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路。 三、 连续场合的卷积公式

定理3.3.1设X与Y是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为pX(x)、

pY(y)，则其和Z?X?Y的密度函数为

pZ(z)??????pX(z?y)pY(y)dy.

证明 略。

本定理的结果就是连续场合下的卷积公式。

例3.3. 6（正态分布的可加性）设X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X与Y相互独立。证明Z?X?Y~N(?1??2,?1??2). 证明 略

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