大学物理第7章 电场题库答案（含计算题答案）

E2?Q4??0r2 (R1?r?R2)

当场点在球面之外时，即r?R2时，

E3?

Q?Q?0 (r?R2) 24??0r4、（综合）电量Q均匀分布在一半径为R的实心球体内，试求该点电球体内、外空间中的电势分布。

解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强

度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：

2?e??E?dS?4? rE ?s根据高斯定理，有： ?e?2E?dS?4? rE???s?q?0内

43Qr3在球体内，即r?R时，?q内??r?3，可得电场强度为：

4R?R333QE球内＝Qr

4??0R3在球体外，即r?R时，

??q内?Q，可得电场强度为：E球外＝q4??0r2

由电势定义 Va??aE?dl

?R?rRdl??E1?dl??E2?dl 球体内的电势 V1??E?r ?3Q8??0R??Q8??0R?3r （r < R）

Q4??0r球体外的电势 V2?

?rE?dl??E2?dl?r （r > R）

5、（一般综合）如图所示一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度{电势}，

解：如图所示，在带电半圆环上任取一线元dl?Rd?，其电荷为：

dq?dE?Qdl，此电荷元可视为点电荷，它在0点产生的电场强度大小为：?Rdq，方向沿径向。因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，所以电场分24??0r1布也是轴对称的。则有： Ex??dEx?0；

5题图 Ey??dEy???0sin?QQ?2?Rd?? 4??0R?R2?2?0R21电场强度的方向沿y轴负向。

6、（一般综合）如图示，AB?2l，OCD是以B为中心、l为半径的半圆，A点有点电荷?q，B点有点电荷?q。求（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功?（2）单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功?

解：由点电荷在空间某点产生的电势公式V?q4??0r可得：

??qqq?VD?????

4??03l4??0l6??0l??V??0?VO?0由Wab?q(Ua?Ub)可得： (1)WOD?1?(VO?VD)?6题图 q6??0l

(2)WD??(?1)?(VD?V?)?q6??0l

7、（综合）半径为

R1的导体球，带有电量?q，球外是一个内、外半径分别为

R2、

R3的同心导体球壳（如图），

球壳上的带电量为?Q。试求：其内外空间中的场强和电势分布；

解：(1)由于场的分布具有对称性，由高斯定理可得各区域的场强分布为：

E1?0 （r?R1)， E2?q4??0r2 （R1?r?R2)

E3?0 （R2?r?R3)， E4?E的方向均沿径向向外。

q?Q （r?R3) 24??0r导体为有限带电体，选无限远处为电势零点，取积分路径沿矢径r方向。 当 r?R1 时：

9题图 V1??E1?dr??rR1R2R1E2?dr??R3R2E?dr??3?R3E r4?d ?14??0(qqq?Q??) R1R2R3R3?当 R1?r?R2 时：

V2??E2?dr??E3?dr??E4?dr

rR2R3R2 ?1qqq?Q??

4??0r4??0R24??0R3R3?当 R2?r?R3 时：

V3??E3?dr??E4?dr

rR3 ?q?Q

4??0R3当 R3?r 时：

V4??E4?dr

r? ?q?Q 4??0r

8、（一般综合）由细导线作成的圆环，半径为R，其上均匀分布着电荷q(如图)。试求在通过环心垂直环面的直

线上与环心相距a处的p点的场强。

（见书中220页：[例7-2]）

10题图

9、（一般综合）求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E的空间分布。设圆柱面半径为R，电荷面密度为?。

1lE?dS?q解：过圆柱面内、外任一点作高为的圆柱形高斯面，根据高斯定理????S0内，有：

当

l?0，E?0； r?R时，E?2?r?当

r??2?R?l?R时，E?2?r?l??，

0?RE??0r

10、（一般综合）求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R，所带总电荷为q。

解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：

2?e???E?dS?4? rE

s根据高斯定理，有：

2?e??E?dS?4? rE??s1?0?q内 (1)

当场点在球体外，即r?R时，

?q内?q，由(1)式可得电场强度为：

E球外＝q4??0r2

当场点在球体内时 即r?R时，

?43qr3q内??r?3，由(1)式可得电场强度为：

4R?R333qE球内＝qr4??0R3

12、（综合）如图所示的电荷线密度为

?1的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为?2的有限长均匀

带电直线AB，两者位于同一平面内。则AB所受静电作用力的大小为多少？

解：由于电荷线密度为?1的带电直线无限长，且电荷均匀分布，所以电场的场强沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离的各点的场强大小相等，即电场分布是轴对称的。以该直线为轴线作一长为h，半径为r的圆柱面为高斯面，如图所示。由于场强与上下底面的法线垂直，所以通过圆柱的上下两个底面的电通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为E2?rh。又此高斯面所包围的电量为

13题图 ?1h，所以根据高斯定理有

?1hE2?rh??0

由此可知，电场强度为

?1E?2??0r

在有限长均匀带电直线AB上取一长度为dr的电荷元，且距离无限长均匀带电直线距离为r，其电量为dq??2dr，故此电荷元所受静电作用力为：dF?Edq

则带电直线AB所受静电作用力的大小为：F?Edq???a?ba?1??a?b?2dr?12ln 2??0r2??0a