复变函数与积分变换试卷

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重庆大学 复变函数与积分变换（理工班） 课程试卷

s26．函数f(s)?2的拉氏逆变换L?1[f(s)]? 【 】

s?1A．?(t)?cost B．?(t)?cost

2009 ~2010学年 第 1 学期

课程号命题人： 名姓 密 弊号学作 绝 拒 、 纪 考 肃 严 级、年信 守 实封 诚 、 争 竞 平班、公业专 线 院学开课学院： 数理学院 ：10020930

考试日期： 201001

考试方式：

考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分

一、单项选择题(每小题2分，共16分)

1．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是 【 】 A．?34?i B．34?i C．34?i D．?34?i 2．函数f(z)在点z可导是 f(z)在点z解析的 【 】

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分条件也非必要条件 3．设f(z)在单连通区域G内处处解析且不等于零，c为G内任何一条简单闭曲线，

则积分??f??(z)?2f?(z)?f(z)dz 【 】 cf(z)A．等于2?i B．等于?2?i C．等于0 D．不能确定

4．下列级数中，条件收敛的级数为 【 】

??n??A．??n?1?1?3i?(3?4i)n??in??(?1)n?i?2?? B．?n?1n! C．?n?1n D．?n?1n?1 5．函数f(z)?cot?z2z?3在z?i?2内的奇点个数为 【 】

A．1 B．2 C．3 D．4

C．?(t)?sint D．?(t)?sint

7．设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函

数的是 【 】 A．v(x,y)?iu(x,y) B．v(x,y)?iu(x,y)

C．u(x,y)?iv(x,y) D．?u?x?i?v?x 8．函数f(z)?z的解析区域是 【 】

A．除去原点及负实轴的复平面 B．除去原点的复平面

C．除去实轴的复平面 D．复平面

二、填空题（每小题3分，共18分） 1．设z?5,arg(z?i)?34?，则z? 2．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?

3．若c为z?4的正向圆周，则积分

??zdz? cz??i?4．幂级数

?enzn的收敛半径R?

n?15．复数3i的值为

6．函数f(t)?sint的傅氏变换F[f(t)]?

组题人： 审题人： 命题时间： 教务处制

三、计算题（每小题6分，共18分） 1．设f(z)?15z5?(1?i)z，求方程f?(z)?0的所有根。

2．计算积分?(i?z)dz，其中C为抛物线y?x2上弧段?z1z2,z1?0,z2?1?i.c

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３．已知调和函数v?yx2?y2，求解析函数f(z)?u?iv，且使f(2)?0.

四、计算题（每小题8分，共24分） 1．判别函数w?zRe(z)的可微性与解析性.

2．利用Cauchy积分公式计算 ??ezz?2z2(z?1)dz.

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3．求函数f(z)?1z2(1?z)在圆环域1?z?1???内的Laurent级数.

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五、综合题（每小题6分，共24分） １．问函数f(z)?1在有限复平面内有哪些奇点？并指出孤立奇点的类型，求出 zsinz其留数．

2．利用Laplace变换求解微分方程初值问题：

y????3y???3y??y?6e?t,y(0)?y?(0)?y??(0)?0.

t3．利用Fourier变换求微分积分方程x?(t)?x(t)dt?et的解，其中???t???.

????

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4．设f(z)在有限复平面上处处解析，且存在正数R使得当z?R时

f(z)?z （k为非负实数）

试证f(z)为次数不超过k的多项式。

k