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三角函数的求值
一、教学目标:能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值. 二、教学重点:有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用. 三、教学过程:
(一)主要知识:
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”:给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点,找出和特殊角之间的关系,利用公式转化或消除非特殊角 (2)“给值求值”:给出一些角得三角函数式的值,求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 (3)“给值求角”:转化为给值求值,由所得函数值结合角的范围求出角。 (4)“给式求值”:给出一些较复杂的三角式的值,求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简,再求之
三角函数式常用化简方法:切割化弦、高次化低次 注意点:灵活角的变形和公式的变形
重视角的范围对三角函数值的影响,对角的范围要讨论 (二)主要方法:
1.寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;
2.正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值; 3.一些常规技巧:“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等.
(三)例题分析:
例1、计算sin400(tan100?3)的值。
【分析】将切函数化成弦函数,3转化成特殊角的三角函数,再利用两角和与差的三角函数即可求解。
sin100sin600?sin5000?) =sin40? 解:原式=sin40( 0000cos10cos60cos10cos600sin800??1 =?2cos100?cos600
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点,找出和特殊角之间的关系
注意特殊值象1、3等,有时需将其转化成某个角的三角函数,这种技巧在化简求值中经常用到。
练习:(全国高考)tan20°+4sin20°
sin200?2sin4002sin300cos100?sin400sin800?sin400解:tan20°+4sin20°===
cos200cos200cos200
2sin600cos200?3 =0cos20例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cosθ的值 解:法一:由已知
2
1?tan?1?3,?tan??
1?tan?24sin2?-2cos2?2tan??2??sin2θ-2cosθ== 2225sin??cos?1?tan?2
法二:sin2θ-2cosθ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(
2
?2?2?)-sin(
?2?2?)-1
2tan(??)444 =???1??
??51?tan2(??)1?tan2(??)44[点评] “给值求值” 法一,由tanθ的值,利用齐次式求值。法二,由角度之间关系求解 练习:已知tan1?tan2(???)??2?1?,求sin(??) 26解:(利用万能公式)
43?3 105?,0 ?4?x)= cos2xcos(?x)4?????【解法1】∵(?x)?(?x)?,∴cos(+x)=sin(-x) 44244???? 又cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x) 2444?cos2x24 ∴=2 cos(-x)=212?()??4cos(?x)13134【解法2】cos2x?cosx?sinx?(cosx?sinx)(cosx?sinx) 2sin(x?22?的值。 ?4)cos(x??4) ∴ cos2xcos(?x)4?2sin(x?)cos(x?)44=2sin(??x) ??4cos(?x)4??下同解法1。 [点评]:分析:角之间的关系:(的三角函数的关系便可求之。 ?4?x)?(?4?x)??2 及 ?2?2x?2(?4?x) ,利用余角间 练习:设cos(α??2)=?1?2,sin(??)=,且??,求cos(α+β) ????,0???92322解:cos( ???2)=cos[(α??2)-( ?2??)]┉= 75 27∴cos(α+β)= 2cos2???2?1=┉=?239 〈对角的范围要讨论〉 729例4、若?,??(0,?),cos???71,tan???,求α+2β。 350 解:∵?,??(0,?),cos???750∴tan???∴?,??(1313?(?,0),tan????(?,0), 73335?5?,?),α+2β?(,3?), 62又tan2β= tan??tan2?2tan?3tan(??2?)???1, ,??21?tan?tan2?41?tan?∴α+2β= 11? 4[点评] “给值求角”:求角的大小,常分两步完成:第一步,先求出此角的某一三角函数值;第二步,再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时,要尽可能地将角的范围缩小,否则易产生增解。 练习:已知α,β为锐角,tanα=1/7 sinβ= 10,求2α+β的值 10解:由已知0<2α+β< 3??2, 求得cos(2α+β)=或tan(2α+β)=1.得2α+β= 242例5、已知sin(???)?11,sin(???)?,求tanα:tanβ的值。 23解:由已知,sinαcosβ+cosαsinβ=1/2??(1), sinαcosβ-cosαsinβ=1/3??(2) ?1???2?得tanα:tanβ=5:1 ?1???2?[点评] “给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。 练习: 已知sinα+sinβ= m已知cosα+cosβ= n(mn≠0). 求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β) 22 解:⑴两式平方相加得:2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=m+n m2?n2?1. ?cos(???)?2sin??sin??cos??cos?⑵ 22?tan????m. ??????2n2coscos2222sin???cos???m2mnn由万能公式:sin(α+β)= ?222n?m?m?1????n?m2mnn?⑶tan(α+β)= 222n?m?m?1????n?2 (四)巩固练习: 1.若cos130?a,则tan50? D ) ?? ( 1?a2 (A)a? 1?a2 (B)? a?? (C)??a1?a 2 1?a2 (D) ?a 2.(1?tan20)(1?tan21)(1?tan24)(1?tan25)? ( B ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 四、小结: 三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”:给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点,找出和特殊角之间的关系,利用公式转化或消除非特殊角 (2)“给值求值”:给出一些角得三角函数式的值,求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 (3)“给值求角”:转化为给值求值,由所得函数值结合角的范围求出角。 (4)“给式求值”:给出一些较复杂的三角式的值,求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简,再求之 三角函数式常用化简方法:切割化弦、高次化低次 注意点:灵活角的变形和公式的变形,重视角的范围对三角函数值的影响,对角的范围要讨论 五、作业:
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