三角函数的求值

三角函数的求值

一、教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 二、教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用． 三、教学过程：

（一）主要知识：

三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 （4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形

重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 （二）主要方法：

1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；

2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．

（三）例题分析：

例1、计算sin400(tan100?3)的值。

【分析】将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。

sin100sin600?sin5000?) =sin40? 解：原式=sin40( 0000cos10cos60cos10cos600sin800??1 =?2cos100?cos600

[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系

注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。

练习:（全国高考）tan20°+4sin20°

sin200?2sin4002sin300cos100?sin400sin800?sin400解：tan20°+4sin20°===

cos200cos200cos200

2sin600cos200?3 =0cos20例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cosθ的值 解：法一：由已知

2

1?tan?1?3,?tan??

1?tan?24sin2?-2cos2?2tan??2??sin2θ-2cosθ== 2225sin??cos?1?tan?2

法二：sin2θ-2cosθ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(

2

?2?2?)-sin(

?2?2?)-1

2tan(??)444 =???1??

??51?tan2(??)1?tan2(??)44[点评] “给值求值” 法一,由tanθ的值，利用齐次式求值。法二，由角度之间关系求解 练习:已知tan1?tan2(???)??2?1?,求sin(??) 26解：（利用万能公式）

43?3 105?，0

?4?x)=

cos2xcos(?x)4?????【解法1】∵(?x)?(?x)?，∴cos(+x)=sin(-x)

44244???? 又cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x)

2444?cos2x24 ∴=2 cos(-x)=212?()??4cos(?x)13134【解法2】cos2x?cosx?sinx?(cosx?sinx)(cosx?sinx) 2sin(x?22?的值。

?4)cos(x??4)

∴

cos2xcos(?x)4?2sin(x?)cos(x?)44=2sin(??x) ??4cos(?x)4??下同解法1。

[点评]：分析:角之间的关系：(的三角函数的关系便可求之。

?4?x)?(?4?x)??2 及

?2?2x?2(?4?x) ，利用余角间

练习：设cos(α??2)=?1?2，sin(??)=,且??，求cos(α+β)

????,0???92322解：cos(

???2)=cos[(α??2)-(

?2??)]┉=

75 27∴cos(α+β)=

2cos2???2?1=┉=?239 〈对角的范围要讨论〉 729例4、若?,??(0,?)，cos???71,tan???，求α+2β。

350

解：∵?,??(0,?)，cos???750∴tan???∴?,??(1313?(?,0),tan????(?,0), 73335?5?,?)，α+2β?(,3?), 62又tan2β=

tan??tan2?2tan?3tan(??2?)???1, ,??21?tan?tan2?41?tan?∴α+2β=

11? 4[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。

练习:已知α，β为锐角，tanα=1/7 sinβ=

10,求2α+β的值 10解：由已知0<2α+β<

3??2, 求得cos(2α+β)=或tan(2α+β)=1.得2α+β= 242例5、已知sin(???)?11,sin(???)?，求tanα:tanβ的值。 23解：由已知，sinαcosβ+cosαsinβ=1/2??(1), sinαcosβ-cosαsinβ=1/3??(2)

?1???2?得tanα:tanβ=5:1

?1???2?[点评] “给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。 练习: 已知sinα+sinβ= m已知cosα+cosβ= n(mn≠0). 求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β)

22

解：⑴两式平方相加得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=m+n

m2?n2?1. ?cos(???)?2sin??sin??cos??cos?⑵

22?tan????m. ??????2n2coscos2222sin???cos???m2mnn由万能公式：sin(α+β)= ?222n?m?m?1????n?m2mnn?⑶tan(α+β)= 222n?m?m?1????n?2

（四）巩固练习：

1．若cos130?a，则tan50? D ）

?? （

1?a2 (A)a?

1?a2 (B)?

a?? (C)??a1?a

2

1?a2 (D) ?a

2．(1?tan20)(1?tan21)(1?tan24)(1?tan25)? （ B ） (A)2 (B)4

(C)8

(D)16

四、小结：

三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 （4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次

注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

五、作业：