北邮 概率论与随机过程 2010年期末试题A答案

北京邮电大学2009——2010学年第二学期

《概率论与随机过程》期末考试试题（A）

考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上一律无效

一． 填空 (每小题4分，共40分)

1. 若A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)?pi,i?1,2,3，则A1,A2,A3这3个事件至少有一个发生的概率为 1?(1?p1)(1?p2)(1?p3) ． 2. 设连续型随机变量X的分布函数为

?x??2F(x)??a?be,x?0;

?其他?0,2则a,b分别为 1，-1 ．

3. 设(X,Y)的概率密度为 e?1??[1??(2)]

?xe?x(1?y),x?0,y?0; f(x,y)??0,其他?则P{X?Y?1}? （用标准正态分布的分布函数表示）． 4. 设(X,Y)的概率密度为

?1?1?x, 0?x?y?1, f(x,y)??

?0 , 其它, ?则对任意给定的x(0?x?1)，fX(x)? 1 ．

5. 设随机变量X与Y互相独立，且D(X)?D(Y)?1，则D(X?3Y?1)? 10 ．

6. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则

z?0?0,?Z?X?Y的分布函数FZ(z)??2z?z2,0?z?1．

?1,z?1?7. 设{W(t),t?0}是参数为?2的维纳过程，X(t)?W(t)?t2(t?0)，则X(t)的相关函数RX(s,t)? ?2mins,(t)?s2t2 ．

8. 设平稳过程X(t)的均值为8，且Y(t)?X?(t)，则Y(t)的均值为 0 ． 9. 设随机过程X(t)?Y?Zt，t?T=(-∞,+∞),其中Y，Z是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，则?t,X(t)服从 N(0,1?t2) 分布（写明参数）．

10. 设马氏链{Xn,n?0,1,2,?}的状态空间为E?{1,2},转移概率矩阵为

?2??31???31??3?,则limp(n)? 1/2 ．

11n??2??3?二．（10分）某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，

以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。(1) 写出X的概率分布；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率的近似值． [附表]设?(x)是标准正态分布的分布函数

x ?(x) 0.5 0.692 1.0 0.841 1.5 0.933 2.0 0.977 2.5 0.994 解 (1)X~b(100,0.2)，即

k P?X?k??C100(0.2)k(0.8)100?kk?0,1,?,100 (3分)

(2)E(X)?20,D(X)?16， （3分）

14?20X?2030?20P{14?X?30}?P{??}161616 (4分)

??(2.5)??(?1.5)??(2.5)??(1.5)?1?0.927

三．（10分）设X(t)，Y(t)均为平稳随机过程，???t???，且相互独

立，均值都是0，相关函数分别为RX(?)?e?|?|，RY(?)?1cos?，证明2Z(t)?X(t)?Y(t)是平稳过程，并求其自相关函数和谱密度。

证明：(1) E[Z(t)]?E[X(t)]?E[Y(t)]?0. （2分）

E[Z(t)Z(t??)]?RX(?)?RY(?) （2分）

于是Z(t)为平稳过程． （1分） (2) 由(1)知Z(t)的自相关函数为

1RZ(?)?RX(?)?RY(?)?e?|?|?cos? （2分）

2(3)谱密度为

??SZ(?)????i???RZ(?)ed??2??[?(??1)??(??1)].（3分）

1??2

四．（10分）设线性系统的脉冲响应函数为h(t)?3e?3tu(t)，其输入平稳过

程X(t)的自相关函数RX(?)?2e?4|?|，求输出的平稳过程自相关函数RY(?)及其谱密度SY(?)．

解： h(t)?3e?3tu(t)?H(?)?SX(?)?3， (2分) 3?i?16, (2分)

16??2 (1) SY(?)?|H(?)|2SX(?)?144 (3分)

(16??2)(9??2)1(2) RY(?)?2???i??S(?)ed??Y???24?3|?|18?4|?|e?e． (3分) 77五．（12分）设马氏链{Xn,n?0,1,2,?}的状态空间为E?{1,2,3,4}, 初始分

?1??2?01111布为(,,,)，一步转移概率矩阵P???14444?4?1??2121400034120?0??0??, 1?4?1??2?计算 (1) P{X2?2}； (2) P{X2?2,X3?1,X5?4}； (3) P{X2?1,X3?2|X0?3}.

33?1?0??88?4?3193?? (3分) ?P2??16161616??3111??8844??111???044??2解： 二步转移概率矩阵为 P(2)?3????8??1?13?1111?(1) P{X2?2}??,,,??16??. (3分)

??1444464???8??1????4?(2) P{X2?2,X3?1,X5?4}=p2(2)p21p14(2)=0 (3分) (3) P{X2?1,X3?2|X0?3}=p31(2)p12=

3. (3分) 16六．（13分）设马氏链{Xn,n?0,1,2,?}的状态空间为E?{0,1,2,3,4}，一步

?1??2?0转移概率矩阵 P???0?1?2?0?001300000011200120?0??2?3?， 1??0?0??