高中数学选修2-2导数导学案

问题 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？

例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． （1）试确定常数a和b的值；

（2）判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

探究点三 函数极值的综合应用

例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x?R. （1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

跟踪训练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

【当堂检测】

1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列函数存在极值的是 ( ) 1

A．y＝

x

B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3

3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为 ( ) A．－12 D．a<－3或a>6

4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为__________ 5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________

【课堂小结】

1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值． 2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反．

3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.

【拓展提高】

321．已知三次函数f(x)?x?ax?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f(?2)??4．

（1）求函数y?f(x)的表达式； （2）求函数y?f(x)的单调区间和极值

32．若函数f(x)?ax?bx?4，当x?2时，函数f(x)极值?4， 3（1）求函数的解析式；

（2）若函数f(x)?k有3个解，求实数k的取值范围

17

§1.3.3

【学习要求】

利用导数研究函数的最值导学案

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会用导数求某定义域上函数的最值．

【学法指导】

弄清极值与最值的区别是学好本节的关键．

函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.

【知识要点】

1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： （1）求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点；

（2）计算函数f(x)在区间内 和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【问题探究】

探究点一 求函数的最值

问题1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？

问题2 观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？ 例1 求下列函数的最值：

（1）f(x)＝2x3－12x，x?[－1,3]； 1

（2）f(x)＝x＋sin x，x?[0,2π]

2

跟踪训练1 求下列函数的最值：

（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x?[－3,1]； （2）f(x)＝ex(3－x2)，x?[2,5]．

18

探究点二 含参数的函数的最值问题

例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．

（1）若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． （2）求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

探究点三 函数最值的应用

问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？

例3 已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．

跟踪训练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)

【当堂检测】

1．函数y＝f(x)在[a，b]上 ( )

A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 π?

3．函数y＝x－sin x，x∈??2，π?的最大值是 A．π－1

π

B．－1

2

( )

D．π＋1

( )

C．π

4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______

【课堂小结】

1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．

2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

【拓展提高】

1－x1?

1．已知a≤＋ln x对任意x∈??2，2?恒成立，则a的最大值为( ) x

A．0 B．1 C．2 D．3

322．已知函数f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y?3x?1

（1）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数y?f(x)在??3,1?上的最大值；

19

（3）若函数y?f(x)在区间??2,1?上单调递增，求实数b的取值范围

§1.3.4

【学习要求】

导数的实际应用导学案

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

【学法指导】

1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．

2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

【知识要点】

1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 _____或 ．这些都是最优化问题．

2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的 【问题探究】

题型一 面积、体积的最值问题

例1 如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．

题型二 强度最大、用料最省问题

例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？

跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使

20