高中数学选修2-2导数导学案

一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0 函数的单调性 单调递___ 单调递____ 常函数 【问题探究】

探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系

问题1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？

问题2 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？

问题3 （1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．

（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 例1 已知导函数f′(x)的下列信息：

当10；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0. 试画出函数f(x)图象的大致形状．

跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．

例2 求下列函数的单调区间： （1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(ex－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2ln x. 跟踪训练2 求下列函数的单调区间：

ex

（1）f(x)＝x－ln x；（2）f(x)＝；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．

x－2

2

探究点二 函数的变化快慢与导数的关系

问题 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？

例3 如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一

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种？ ( )

跟踪训练3 （1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．

（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是 ( )

【当堂检测】

1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是 ( )

A．单调增函数 B．单调减函数

1111

0，?上是减函数，在?，6?上是增函数 D．在?0，?上是增函数，在?，6?上是减函数 C．在??e??e??e??e?2． f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

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3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为 ( ) 1

0，? A．??a?1

，＋∞? C．(0，＋∞) D．(0，a) B．??a?

4．（1）函数y＝x2－4x＋a的增区间为_________，减区间为___________

（2）函数y＝x3－x的增区间为_______________________，减区间为_____________

【课堂小结】

1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．

2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求导数f′(x)；

（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

【拓展提高】

1．已知函数y?13x?x2?ax?5 3（1）若函数的单调递减区间是(?3,1)，则a的是 . （2）若函数在[1,??)上是单调增函数，则a的取值范围是

2．函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f?(x) >1，则不等式f(x)－x>0的解集为_______ 3．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_______ 1

4．设函数f(x)＝x－－aln x.

x

（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为2，求a的值； （2）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；

§1.3.2

利用导数研究函数的极值导学案

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【学习要求】

1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2．掌握函数极值的判定及求法.

3．掌握函数在某一点取得极值的条件．

【学法指导】

函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.

【知识要点】

1．极值的概念

已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 ．如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ． 极大值点与极小值点统称为 2．求可导函数f(x)的极值的方法 （1）求导数f′(x)；

（2）求方程 的所有实数根；

（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化． ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极 值． ②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极 值．

③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)

【问题探究】

探究点一 函数的极值与导数的关系

问题1 如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？

问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？ 问题3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明． 例1 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值． 3

跟踪训练1 求函数f(x)＝＋3ln x的极值．

x

探究点二 利用函数极值确定参数的值

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