高中数学选修2-2导数导学案

【学习要求】

1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．会求导函数．

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

【学法指导】

前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.

【知识要点】

1．导数的几何意义

（1）割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy

的一条割线，此割线的斜率是＝__________________.

Δx

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f?(x)是x的一个函数，称f?(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f?(x)也记作y′，即f?(x)＝y′＝_______________

【问题探究】

探究点一 导数的几何意义

问题1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．

跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快

5

慢的情况．

（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )

探究点二 求切线的方程

问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？ 例2 已知曲线y＝x2，求：

（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P(3,5)的切线方程． 跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：

（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．

【当堂检测】

1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( ) A．4 B．16 C．8 D．2

2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______

【课堂小结】

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝lim

Δx→0

f?x0＋Δx?－f?x0?

Δx

＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

【拓展提高】

，f(1))处的切线方程是y?1．已知函数y?f(x)的图象在点M(121x?2，则f(1)?f?(1)? 22．设P为曲线C：y?x?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，

4则点P横坐标的取值范围为 ????? 6

§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案

【学习要求】

1

1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数．

x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

【学法指导】

1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式

函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．

2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．

【知识要点】

1．几个常用函数的导数 原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 1f(x)＝ xf(x)＝x 2．基本初等函数的导数公式 原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x 导函数 y′＝____ y′＝______ y′＝_______ y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝_____ y′＝______ y′＝______ 导函数 f′(x)＝___ f′(x)＝___ f′(x)＝___ f′(x)＝_____ f′(x)＝_______ 7

【问题探究】

探究点一 求导函数

问题1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：

1

（1）y＝c；（2）y＝x；（3）y＝x2；（4）y＝；（5）y＝x.

x

问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？ 例1 求下列函数的导数：

π14（1）y＝sin；（2）y＝5x；（3）y＝3；（4）y＝x3；

3x

（5）y＝log3x.

跟踪训练1 求下列函数的导数：

1

（1）y＝x8；（2）y＝()x；（3）y＝xx；（4）y?log1x

2

3

探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．

π??π?ππ3

cos′＝－sin ＝－. 求f(x)＝cos x在x＝处的导数，过程如下：f′?＝?3??3?332跟踪训练2 求函数f(x)＝

13在x＝1处的导数．

x

探究点三 导数公式的综合应用

例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使△ABP的面积最大．

跟踪训练3 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

【当堂检测】

1．给出下列结论：

13133①若y＝3，则y′＝－4；②若y＝x，则y′＝x；

xx31－

③若y＝2，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.

x其中正确的个数是 ( ) A．1 B．2

3

6

C．3

D．4 3 2

2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于 ( ) A．

B．0

1C．

2x

D．

8