高中数学选修2-2导数导学案

§1.1.1

【学习要求】

函数的平均变化率导学案

1．理解并掌握平均变化率的概念．

2．会求函数在指定区间上的平均变化率．

3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．

【学法指导】

从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.

【知识要点】

1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝ ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝ ，则当Δx≠0时，商到x0＋Δx之间的 ．

Δy

2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义：＝__________

Δx表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的 .

f(x0??x)?f(x0)＝____叫做函数y＝f(x)在x0

?x【问题探究】

在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率

问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？

问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？

跟踪训练1 如图是函数y＝f(x)的图象，则：

（1）函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

探究点二 求函数的平均变化率

例2 已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．

跟踪训练2 分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．

问题 一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

1

探究点三 平均变化率的应用

例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？ 跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？

【当堂检测】

1．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为__________

2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________

3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．

【课堂小结】

1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； Δyf(x2)?f(x1)（2）计算平均变化率＝.

Δxx?x21【拓展提高】

1．设函数y?f(x)，当自变量x由x0改变到x0??x时，函数的改变量?y为（ ） A．f(x0??x) B．f(x0)??x C．f(x0)?x D．f(x0??x)?f(x0) 2．质点运动动规律s?t2?3，则在时间(3,3??t)中，相应的平均速度为（ ）

9A．6??t B．6??t? C．3??t D．9??t

?t§1.1.2

【学习要求】

瞬时速度与导数导学案

1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．

2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

2

【学法指导】

导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.

【知识要点】

1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．

设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率__________________

2．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim

Δx→0

s(t0??t)?s(t0)Δs

，当Δt→0时的极限，即v＝lim ＝

Δt?tΔt→0

Δy

＝_________________. Δx

3．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函

Δy

数y＝f(x)在x＝x0处的 ，记为 ，即f′(x0)＝lim ＝________________

ΔxΔx→04．导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b) ．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f?(x)，于是在区间(a，b)内，f?(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的 ．

记为 或y′(或y′x )．导函数通常简称为

【问题探究】

探究点一 瞬时速度

问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态？

问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？

例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？

跟踪训练1 质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．

探究点二 导 数

问题1 从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？

例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 跟踪训练2 已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)．

3

探究点三 导数的实际应用

例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀．当温度为tC时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．

跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果

0在第xh时，原油的温度(单位：C)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，

0原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

【当堂检测】

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义中，自变量x在x0处的增量Δx ( ) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不等于0

1

2．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是 ( )

2A．at0

1

B．－at0 C．at0

2

D．2at0

3

3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是 ( )

2A．3

B．－3 C．2 D．－2

1

4．已知函数f(x)＝，则f?(1)＝________

x

【课堂小结】

1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值． 2．利用导数定义求导数的步骤：

（1）求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy

（2）求平均变化率；

Δx（2）取极限得导数f′(x0)＝lim

Δx→0

Δy. Δx

【拓展提高】

1．设f??3??4,则limh?0f?3?h??f?3?为（ ）

2h A．－１ B．－2 C．－3 D．1

2．一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s?14t?4t3?16t2,则速度为零的时刻是 4（ ）

A．4s末 B．8s末 C．0s与8s末 D．0s,4s,8s末

§1.1.3

导数的几何意义导学案

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