概率论与数理统计答案（东华大学出版）第二章(1)

第二章 离散型随机变量及其分布律

第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题

1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用?表示

所得球上的数字，求?的分布律。

解答：因为?只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以?的分布律为：

? P{??xi}

-3 2/6 1 3/6 2 1/6 2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用?表示其中的次品数，

问?的分布律是什么？

解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数?为k时，即有k个次品时，则有10-k个正品。所以：

k10?kC30C170?的分布律为：P{??k}?,k?0,1,?,10。 10C2003、 一个盒子中有m个白球，n?m个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球

才停止。设此时取到的白球数为?，求?的分布律。

解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0?m中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数?等于k，则第

k?1次取到是黑球，以Ai表示第i次取到的是白球；Ai表示第i次取到的是黑球。则?的

_分布律为：

P{??k}?P(A1A2?AkAk?1)?P(A1)P(A2|A1)?P(Ak?1|A1?Ak)mm?1m?k?1n?m??????,k?0,1,?,mnn?1n?k?1n?k__。

4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿

灯显示时间相等。以?表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求?的分布律。 解答：因为只有3个路口，因此?只可能取0、1、2、3，其中{??3}表示没有碰到红灯。以Ai表示第i个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以P(Ai)?1/2，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以A1,A2,A3相互独立。因此?的分布律为：

P{??0}?P(A1)?__1， 2_P{??1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?____1， 41， 8P{??2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?______P{??3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?1/8。

5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为

pi?1,(i?1,2,3)。用?表示3个零件合格品的个数，求?的分布律。 i?1解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以Ai表示第i个零件是合格的，则P(Ai)?1/(1?i)。因?表示零件的合格数，因此?的分布律为：

1111P{??0}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?(1?)(1?)(1?)?，

2344______11P{??1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?，

24___6P{??2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?，

241P{??3}?P(A1A2A3)?。

24______6、 设随机变量?的分布律为P{??k}?c确定常数c的值。 解答：因P{??k}?c?kk!,k?0,1,2,?，式中?为大于0的常数。试

?kk!,k?0,1,2,?如果是随机变量?的分布律，则应该满足如下两个

?条件：1、对任意的k，P{??k}?0，因此可得c?0；2、1????P{??k}??ck!?ce?，

k?0??kk?0所以可得c?e。

7、 设在每一次试验中，事件A发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3时，指示灯发出

信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n次试验，则事件A在n次试验中发生的次数?服从参数为n和p?P(A)?0.3的二项分布。因为当A在n次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。因此，P{发出信号}?P{??3}??P{??k}??Ck?3k?3nnkn0.3k0.7n?k。第

一小题中的n等于5，第二小题中的n等于7。计算即可。

8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率

都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？

解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于P{??3}?1?P{??0}?P{??1}

?P{??2}?1?0.950?50*0.949*0.1?50*494820.90.1。 29、 把一个试验独立重复地做n次，设在每次试验中事件A出现的概率为p，求在这n次试

验中A至少出现一次的概率是多少。

解答：同上一题，n次试验中A出现的次数服从参数为n和p的二项分布。因此，所要求的概率等于P{??1}?1?P{??0}?1?(1?p)n。

10、 甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，

如果甲首先射击，求： （1） 两人射击总次数?的分布律； （2） 甲射击次数?1的分布律； （3） 乙射击次数?2的分布律。

解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令Ai表示甲第i次射击时射中，则P(Ai)?0.6（i?1,2,?）；令Bi表示乙第i次射击时射中，则

P(Bi)?0.7(i?1,2,?)。由此可知：

（1）P{??2k?1}?P(A1B1?AkBkAk?1)?P(A1)P(B1)P(A1)?0.12*0.6，

_____k_kkk?0,1,?

P{??2k}?P(A1B1?AkBk)?P(A1)P(B1)k?1P(B1)?0.12k?1*0.28，k?1,2,?

k_____A1B?)PA(B)B (1)（2） P{?1?k}?P(1AkBk?1?1Bk?A1k?)PA(P1)B(P +P(A1)__k?1______k__k?11P(B1)k?1P(A1)?0.88*0.12k?1,k?1,2,?

_____A1B?)PA(B（3） P{?2?k}?P(1AkBk?1?1BkAk?_?)B (1)1)PA(P1)B(Pk__k?11 ?P(A1)P(B1)P(A1)?0.352*0.12 P{?2?0}?P(A1)?0.6。

_k_kk?1,k?1,2?

11、 一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从??4的泊松分布。求（1）一分钟内恰好

有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。

48?4e，解答：因每分钟受到的呼叫数???(4)，因此P{??8}?而P{??9}1?{?P9}??8!

4i?4=?e=0.008132。（查表得到） i?10i!?12、 某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为0.001，

设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。

解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数

??B(500,0.00，因1)n?500较大，而p?0.001较小，因此可利用泊松定理近似计算，0.5k?0.5}?1?P{??1}??则令??500*0.001，即近似认为???(0.5)。即P{??2e，

k!i?2?查表可得等于0.090204。

13、 设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零件

多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？ 解答：因每月耗用零件的数量???(3)，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量?小

3i?3于等于月初所备的零件数x，也就是P{??x}?1??e?0.999，查表可得x?10。

i?0i!x?114、

设?服从泊松分布，且P{??1}?P{??2}，求P{??4}。

解答：因???(?)，即P{??1}??11!e???P{??2}??22!e??，由此可得??2，所以

24?4P{??4}?e。

4!15、

设?服从参数为?的泊松分布，即P{??k}?e???kk!,k?0,1,2,?，求使得

P{??k}达到极大值的k，并证明你的结论。

?P{??k?1}?k?1???k??解答：因,因此如果??k?1，则?e/(e)?k?1P{??k}(k?1)!k!