离散数学 复习资料

第1章 命题逻辑

本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.

一、重点内容

1. 命题 命题表述为具有确定真假意义的陈述句。命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义. 2. 六个联结词及真值表 ?“?”否定联结词，P是命题，?P是P的否命题，是由联结词 ? 和命题P组成的复合命题.P取真值1，?P取真值0，P取真值0，?P取真值1. 它是一元联结词. ? “?”合取联结词，P?Q是命题P，Q的合取式，是“?”和P，Q组成的复合命题. “?”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P?Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P?Q取值为0，只有P，Q之一取0. ? “?”析取联结词，“??”不可兼析取(异或)联结词， P?Q是命题P，Q的析取式，是“?”和P，Q组成的复合命题. P??Q是联结词“??”和P，Q组成的复合命题. 联结词“?”或“??”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P??Q”?“(?P?Q)?(P??Q)”. P?Q取值1，只要P，Q之一取值1，P?Q取值0，只有P，Q都取值0.

? “?”蕴含联结词， P?Q是“?”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P?Q取值为0；其余各种情况，均有P?Q的真值为1，亦即1?0的真值为0，0?1，1?1，0?0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P?Q”.

? “?” 等价联结词，P?Q是P，Q的等价式，是“?”和P，Q组成的复合命题. “?”在语句中相当于“…当且仅当…”，P?Q取值1当且仅当P，Q真值相同.

3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别 ?命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,Pn，给P1，P2,…,Pn各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.

?命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；

判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，

n

成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2个极小项(即

n

无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2个极大项(即无极小项)，则该公

n

式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2,，则该公式是可满足式.

?等值式A?B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。 定理1 设?(A)是含命题公式A的命题，?(B)是用命题公式B置换?(A)中的A之后得到的命题公式. 如果A?B，则?(A)??(B).

4. 范式 ? 析取(合取)范式，仅有有限个简单合取式(析取式)构成的析取式(合取式)，就是析取(合取)范式. ? 极小项(极大项)，n个命题变项P1,P2,…,Pn，每个变项或它的否定两者只有其一出现且仅出现一次，第i个命题变项或者其否定出现在从左起第i个位置上(无脚标时，按字典序排列)，这样的简单合取式(析取式)为极小项(极大项). 以两个命题变项为例，m00=?P??Q，m01=?P?Q,m10=P??Q,m11=P?Q是极小项;M00=P?Q，M01=P??Q,M10=?P?Q,M11=?P??Q是极大项. ? 主析取范式(主合取范式) 含有n个命题变项的命题公式，如果与一个仅有极小项(极大项)的析取(合取)构成的析取(合取)范式等值，则该等值式称为原命题公式的主析取(合取)范式。

每项含有n个命题变项(变项字母齐全)的合取式(析取式)的析取(合取)为主析取(合取)范式. 任意命题公式都存在与之等值的范式，存在与之等值的主范式，且是惟一的.

求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式. 关键有两点：其一是准确掌握范式定义；其二是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和摩根律，结果的前一步适当使用幂等律. 求析取(合取)范式的步骤： ① 将公式中的联结词都化成?，?，?(即消去个数中的联结词?，?，??)；

② 将否定联结词?消去或移到各命题变项之前；

③ 利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)范式. 求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤 ① 求公式A的析取(合取)范式； ② “消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如P??P(P??P)用0(1)替代. 用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如P?P(P?P)用P替代，mi?mi(Mi?Mi)用mi(Mi)替代.

③ 若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)B不含有命题变项Pi或?Pi，则添加Pi??Pi(Pi??Pi)，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；

④ 将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用?(?)表示. 5. 命题演算的推理理论

?设A1,A2,…,An,C是命题公式，如果A1?A2???An?C是重言式，称C是前提集

合{ A1,A2,…,An}的有效结论或{A1,A2,…,An}逻辑地推出C。记作A1?A2???An?C 掌握演绎或形式证明. 要理解并掌握14个重言蕴含式(即I1～I14)，17个等值式(E1～E17)；二是会使用三个规则(P规则、T规则和CP规则)。 推理方法有： 真值表法；等值演算法；主析取范式法，构造证明法(直接证明法、附加前提证明法和间接证明法)

二、实例

例1.1 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数. (3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走!

(5) 火星上也有人.

解 (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题因为不是陈述句. (5) 是命题. 真值是唯一的，迟早会被指出. 例1.2 将下列命题符号化：

(1) 虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达火车站； (2) 张力是三好生，他是北京人或是天津人.

(3) 除非天下雨，否则我骑车上班.

解 (1) 设P：交通堵塞，Q：老王准时到达火车站. 该命题符号化为：P?Q. (2)设P：张力是三好生； Q：张力是北京人，R：张力是天津人. 该命题符号化为P?(Q??R ). (3)设P：天下雨，Q：我不骑车上班.

该命题符号化为：Q?P，义即“只有天下雨，我才不骑车上班”，不下雨是我骑车上班的必要条件。它的等价说法是“如果天不下雨，我就骑车上班”，即?P??Q

“如果天下雨，我就不骑车上班”，这是蕴含关系，符号化为：P?Q

注：本例各小题都是复合命题。如“李枚和张樱花是好朋友”是简单命题，用字母P表示。显然P：李枚是好朋友，Q：张樱花是好朋友，符号化为Q?P是不通的.

例1.3 证明：P?(Q?R)?P?Q?R.

证明 方法1 真值表法. 列公式P?(Q?R)与P?Q?R的真值表如表1－1. .

表1－1 公式P?(Q?R)与P?Q?R的真值表 P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q R Q?R 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 P?(Q?R) 1 1 1 1 1 1 0 P?Q 0 0 0 0 0 0 1 P?Q?R 1 1 1 1 1 1 0 P?(Q?R)?P?Q?R 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由表可知，公式P?(Q?R)与P?Q?R的真值完全相同，故P?(Q?R)?P?Q?R.. 或由表的最后一列可知，P?Q??P?Q是重言式，故P?(Q?R)?P?Q?R. 注：作为本例的证明可以不要最后1列。若本例改为判断P?(Q?R)?P?Q?R的类型，由最后列可知P?(Q?R)?P?Q?R是重言式.

方法2 等值演算法. P?（Q?R）

?P?(?Q?R) (等值蕴含式) ??P?(?Q?R) (等值蕴含式) ?（?P??Q）?R (结合律) ??(P?Q)?R (摩根律) ?P?Q?R (等值蕴含式) 所以，P?（Q?R）?(P?Q)?R

例中等值演算的每一步都用到了置换规则. 由等值演算的传递性，可知第一个公式

P?(Q?R)和最后一个公式P?Q)?R等值.

方法3 主范式法.

P?(Q?R)??P?(?Q?R)??P??Q?R(主合取范式) P?Q?R??(P?Q)?R??P??Q?R(主合取范式)

P?(Q?R)与P?Q?R的主合取范式相同，故P?(Q?R)?P?Q?R。

注：(1)容易写出P?(Q?R)与P?Q?R的主析取范式均为m0?m1?m2?m3?m4?m5?m7

即 (?P??Q??R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)

?(?P?Q?R)?(P??Q??R)?(P??Q?R)? (P?Q?R)

(2) 由真值表求公式P?(Q?R)的主析取范式，先列出P?(Q?R)的真值表，见表1－1。主析取范式是公式P?(Q?R)真值为1的项的析取，真值为1的项，即极小项，有第1,2,3,4,5,6,8共7项. 而极小项是合取式，合取式为1，必定是每个变元或其否定为1，如表1－1中第1行P，Q，R均取1，所以这一项为?P??Q??R，类似地，7个极小项为：

?P??Q??R，?P??Q?R，?P?Q??R，?P?Q?R，P??Q??R，P??Q?R，P?Q?R 所以P?(Q?R)的主析取范式为： (?P??Q??R)?(?P??Q?R)?(?P?Q??R)

?(?P?Q?R)?(P??Q??R)?(P??Q?R)? (P?Q?R)

例1.4 用等值演算法判定公式P??(Q?R)?P?Q?R是永真式？永假式？可满足式？ 解 等值运算法. P??(Q?R)?P?Q?R??(P??(Q?R)?P?Q?R

??(P??(Q?R)??P?(Q?R))?P?Q?R ??((P??(Q?R))?(?P?Q?R))?P?Q?R ?(?(P??(Q?R))??(?P?Q?R))?P?Q?R ?((?P?(Q?R))?(P??Q??R))?P?Q?R ?((?P?(Q?R)) ?P?Q?R)?((P??Q??R)?P?Q?R) (?对?的分配律)

?(?P?P)?Q?R?(Q?R)?1 ?1?1?1

因此，P??(Q?R)?P?Q?R是永真式. 注：也可以用真值表法或主范式法. 例1.5 化简下式：

(A?B?C)?(?A?B?C) 解 (A?B?C)?(?A?B?C)

?(A??A)?(B?C)?1?(B?C)

?B?C（分配律）（否定律）（同一律）

例1.6 求公式(?P?R)?(P?Q)的主合取范式和主析取范式.

解 先将公式(?P?R)?(P?Q)化为合取范式.

(?P?R)?(P?Q)

?(?P?R)?(P?Q)?(Q?P)(去掉?) ?(P?R)?(?P?Q)?(?Q?P) (去掉?) (合取范式)