解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

设A?x1，y1?，B?x2，y2?，则x1?x2??28km 23?4k?1??8km??4?3?4k2??4m2?48??0 ①

?y?kx?m?由?x2y2消去y化简整理得3?k2x2?2kmx?m2?12?0

?1???412??设C?x3，y4?，D?x4，y4?，则x3?x4?22km 3?k2?2???2km??4?3?k2??m2?12??0 ②

因为AC?BD?0，所以?x4?x2???x3?x1??0，此时?y4?y2???y3?y1??0． 由x1?x2?x3?x4得?所以2km?0或?8km2km． ?223?4k3?k41．由上式解得k?0或m?0．当k?0时，由①和②得?23?m?23．因m?223?4k3?k是整数，所以m的值为?3，?2，?1，0，1，2，3．当m?0，由①和②得?3?k?3．因k是整数，所以k??1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．

212、（2010一试10）已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1?x2且x1?x2?4.

线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求?ABC面积的最大值. 【解析】解法一：设线段AB的中点为M(x0,y0)，则 x0?x1?x2y?y2?2,y0?1， 22kAB?y2?y1y?y163?22?? .

x2?x1y2?y1y0y2y12?66y0(x?2). （1） 3线段AB的垂直平分线的方程是y?y0??

222依题意，y1,y2是方程（3）的两个实根，且y1?y2，所以??4y0?4(2y0?12)??4y0?48?0,

?23?y0?23.

yABOC(5,0)x

AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?(2y0?(1?)[(y1?y2)2?4y1y2]

92y022?(1?)(4y0?4(2y0?12))

9y02))(y1?y2)2 3?222(9?y0)(12?y0) . 32(5?2)2?(0?y0)2?9?y0.

定点C(5,0)到线段AB的距离h?CM?S?ABC?1111222222AB?h?(9?y0)(12?y0)?9?y0?(9?y0)(24?2y0)(9?y0) 2332222?24?2y0?9?y014119?y07 . ?()3?332322当且仅当9?y0，即y0??5,A(?24?2y06?356?35,5?7),B(,5?7)或 33A(6?356?35,?(5?7)),B(,?5?7)时等号成立. 33147. 3所以，?ABC面积的最大值为

122S?6t12t2?6t1t2?56t2))2 ABC?((56t1?233314?(t1?t2)2(t1t2?5)2?(4?2t1t2)(t1t2?5)(t1t2?5)?()3, 2223所以S?ABC?1427, 当且仅当(t1?t2)2?t1t2?5且t12?t2?4，即 3t1?7?56,t2??7?56,A(6?356?35,5?7),B(,5?7)或 33A(146?356?357. ,?(5?7)),B(,?5?7)时等号成立.所以，?ABC面积的最大值是333

1x2y2l13、（2011一试11）作斜率为的直线与椭圆C：?，且P(32,2)在?1交于A,B两点（如图所示）

3364直线l的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若?APB?60?，求△PAB的面积． 【解析】（1）

y

设直线l：y?1x?m，A(x1,y1),B(x2,y2)． 3P O A x B 1x2y222将y?x?m代入??1中，化简整理得2x?6mx?9m?36?0．

3364

上式中，分子?(x1?m?2)(x2?32)?(x2?m?2)(x1?32)

229m2?36?x1x2?(m?22)(x1?x2)?62(m?2)???(m?22)(?3m)?62(m?2) 332?3m2?12?3m2?62m?62m?12?0，

1313从而，kPA?kPB?0．

又P在直线l的左上方，因此，?APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△PAB的内切圆的圆心在直线

x?32上．

（2）若?APB?60?时，结合（1）的结论可知kPA?3,kPB??3．

x2y2直线PA的方程为：y?2?3(x?32)，代入??1中，消去y得14x2?96(1?33)x?18(13?33)?0．

364它的两根分别是x1和32，所以x1?32?|PA|?1?(3)2?|x1?32|?18(13?33)32(13?33)，即x1?．所以

141432(33?1)．

7同理可求得|PB|?32(33?1)．

71所以S?PAB??|PA|?|PB|?sin60?2．

132(33?1)32(33?1)31173?????.277249

14、（2012一试11）如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB?OD?6．

22（１）求证：|OA|?|OC|为定值；（２）当点A在半圆(x?2)?y?4（2?x?4）上运动时，求点C的

轨迹．

(2)设C(x,y),A(2?2cos?,2sin?),其中???XMA(?2?2????2),则?XOC??2.

222因为OA?(2?2cos?)?(2sin?)?8(1?cos?)?16cos?2,所以OA?4cos?22由(1)的结论得OCcos?2?5,所以x?OCcos?2?5.从而y?OCsin?2?5tan??[?5,5].

故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为A(5,5),B(5,?5) 学科/网

x2y215、（2013一试11）（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，A1、A2ab分别为椭圆的左、右顶点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面