高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学案(无答

→2?12?2

所以|EF|＝?b－a?

?33?12442＝|b|－a·b＋|a| 999

16444＝－×1×4×cos60°＋＝. 9993→23所以|EF|＝. 3

→→?21?AC·FE＝(a＋b)·?a－b?

?33?22112＝|a|＋a·b－|b| 333

2116

＝＋×1×4×cos60°－＝－4. 333四、探究与拓展

π

14．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒

3成立，则|b|的取值范围为( ) A．[2，＋∞) C．[1，＋∞)

B．[－1,1] D．(－∞，1)

考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 求向量的数量积的最值 答案 C

解析 对不等式|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方得，(xa＋2b)≥(a＋b)，所以x·|a|＋4a·bxππ222

＋4|b|≥|a|＋2a·b＋|b|，又a与b的夹角为，且|a|＝1，则有a·b＝|a|·|b|·cos331122222

＝|b|，所以有x＋4x·|b|＋4|b|≥1＋|b|＋|b|，即x＋2|b|x＋3|b|－1－|b|≥0，此22式对一切实数x恒成立，所以有Δ＝4|b|－4(3|b|－1－|b|)≤0，即有2|b|－|b|－1≥0，

??2|b|＋1≥0，所以(2|b|＋1)(|b|－1)≥0，所以?

?|b|－1≥0?

2

2

2

2

2

2

2

??2|b|＋1≤0，

或?

?|b|－1≤0，?

所以|b|≥1或|b|≤

1

－(舍去)，故选C. 2

15．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－b－a|＝1，则|c|的取值范围为( ) A．[2－1，2＋1] C．[1，2＋1]

B．[2－1，2＋2] D．[1，2＋2]

考点 平面向量数量积的运算性质和最值

题点 求向量的数量积的最值 答案 A

解析 如图所示，

→→→→→

令OA＝a，OB＝b，OD＝a＋b，OC＝c，则|OD|＝2.

又|c－b－a|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知当点C与O，D共线时，→

|OC|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c|的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A.