整体把握与实践高中数学新课程 - 与高中数学教师对话

4）当n?m且0?a?1时，有an?am，m、n为正整数。

以上性质都是最基本的，是需要掌握的。对于不等性质，可以放到引入指数函数之后，讨论指数函数性质时，再作介绍。

其中，恒等性质可以由定义直接证明。

对于不等性质，在高中阶段也是可以证明的，但要涉及到许多其它的内容。例如：在证明不等性质1）时，要用到数学归纳法或二项式定理。因此，在学习指数及指数函数时，不要求对上述不等性质的证明。 如果希望介绍这些证明，可以放到选修2某些内容之后，作为例题或习题。

对上述恒等性质5），认识这个结果是不困难的。这个结果主要是为拓展指数概念做准备。

于是，很自然地就产生了以下定义。

（3）定义：a0?1（a?0）。 （4）定义：a?n?有了

1（a?0）。 nan，an（a?0）就是有意义的了。用函数的语言来说，

指数函数的定义域可以从前面的正整数拓展到整数。

（5）根据上述定义，我们很自然地会提出这样的问题：前面给出的那些恒等性质和不等性质是否还正确。在高中阶段，运用高中学到的知识是可以严格证明以下恒等性质和不等性质在整数范围内仍然成立。

恒等性质：am?n?am?an ，?am??amn ，(ab)n?anbn ，其中a?0,b?0，m、

nn为整数。

不等性质： 1）对于a?1，有an?1，n为整数；

2）对于0?a?1，有an?1，n为整数；

3）当n?m且a?1时，有an?am，m、n为整数； 4）当n?m且0?a?1时，有an?am，m、n为整数。

需要强调的是，这些结果不要求学生给出证明，对于优秀的学生来说，这些问题是提高数学素养的很好的练习。但是，这些结果是要求学生理解和使用的。

（6）前面我们已经给出了指数是整数的情况，那么，指数是有理数时应当怎样处理呢？

在初中我们已经知道，对于b?a，则b?a21?a2。若a?0，在实数范围内b是没

有意义的。因此，我们规定有理数指数幂中，底数a?0。

有理指数幂的引入需要考虑以下问题：给定a?0及整数m、n，是否存在唯一的b，使得bn?am成立？

49

我们要告诉学生，在正实数的范围内，存在唯一的b满足上述条件。为了与整数幂的表示一致，我们引入记号：b?a（a?0）。这样，我们给出了有理数指数幂的定义。至此，指数函数在有理数的范围有意义了，即，把指数函数的定义域从前面的整数拓展到有理数。

特别需要指出的是：有理指数幂大于零是定义中给出的。

这个定义的合理性需要用到：幂函数y?xn是连续函数。在这里简单地介绍一下。 当a?0时，am?0。当x?0时，y?xn是严格递增的连续函数，所以，存在唯一的b?0，满足bn?am。这样，就证明了存在唯一的b?0，使得bn?am成立。

为了保证有理指数幂定义得合理，还需证明以下几个结果：

a?(a)?(a)?a

mnmnn1m1mnknkm上述过程，就保证了有理指数幂的定义是合理的。

（7）有了有理指数幂的定义，是否可以证明：在有理数范围内，（5）中的恒等性质和不等性质仍然成立？

高中阶段，我们可以给出严格证明，但这些不要求学生去证明。

（8）如何定义无理指数幂呢？

当a?0，?是一个无理数时，如果a?表示一个确定的实数，这样就可以将有理数指数幂扩充到无理数指数幂了。我们仅给一个例子来说明这一点。

在学习无理数定义时，我们知道，对于无理数2的确定，我们需要讨论以下问题：如何求出b使得 b2?2。

我们可以找到两个数列：1.4?1.41?1.414??b。由于，1.5?1.4?0.1，1.42?1.41?0.01，1.415?1.414?0.001?，则由闭区间套定理，存在一个数位于这两个数列之间，我们记为

1.4?1.41?1.414???2???1.415?1.42?1.5。

2。即

由前面介绍的性质，我们也可以得到两列有理数指数幂：a1.4

a1.5>a1.42>a1.415??。这里a131.5?a1.4?a(a?1)，a1n1.411011.42?a1.41?a1.41(a10?1)，

1n2a1.415?a1.414?a1.414(a10?1)?。因此，我们只要可以证明a10?1?0，即a10?1，则

2由闭区间套定理，就存在一个实数，我们记为aa1.4

2，使得

???a1.415?a1.42?a1.5。

50