2009苏锡常镇二模数学试题及答案

2009年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）

数学（正题卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．复数(2?i)i在复平面上对应的点在第 ▲ 象限．

2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ▲ ． 3．已知集合A?{x|x?5}，集合B?{x|x?a}，若命题“x?A”是命 题“x?B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．

4．某校学生张超的学籍号码是200608251，2006表示入学年份，08表示所

在班级，25表示他在班上的学号，1表示男性（2表示女性），若今年考入该校的黄艳将被编入12班，在班上的学号为6号，则她的学籍号码的各位数字和等于 ▲ ． 5．集合A?{3,log2a},B?{a,b},若AB?{2},则AB? ▲ ．

开始 输入n S?0 6．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的 值是 ▲ ． 7．向量a?(cos10,sin10),b?(cos70,sin70)，a?2b= ▲ ．8．方程xlg(x?2)?1有 ▲ 个不同的实数根．

9．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直

径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为 ▲ ．10．已知等比数列?an?中，a2?a3?1，则使不等式 (a1?n?2 否 S?S?n 是 输出S n?n?1结束 第6题图

111)?(a2?)?a(3?)????na?(a1a2a31?)成立的最大自然数?0n是 ▲ ． an11．若函数f?x??mx2?lnx?2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是 ▲ ． 12．如果圆(x?a)2?(y?a)2?4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围

是 ▲ ．

13．已知实数x,y满足x?x?1?y?3?y，则x?y的最大值为 ▲ ． 14．当n为正整数时，函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)?3,N(10)?5,???, 设Sn?N(1)?N(2)?N(3)?N(4)?...?N(2n?1)?N(2n),则Sn? ▲ ．

二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分） 甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹. （1）求空弹出现在第一枪的概率； （2）求空弹出现在前三枪的概率;

（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔

P,Q,R，第四枪瞄准了三角形PQR射击,第四个弹孔落在三角形PQR内，求第

四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）.

16．（本题满分14分）

如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一 点，且PB⊥BD． ⑴ 求证：PA⊥BD；

(2) 若PC与CD不垂直，求证:PA?PD；

⑶ 若直线l过点P,且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，

使得直线PC∥平面EBD.

P l

A D

C B

17．（本题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x?2． ⑴ 求椭圆的标准方程；

⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．

18．（本题满分16分）

如图，直角三角形ABC中，∠B＝90，AB＝1，BC＝3．点M,N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A?MN，使顶点A?落 在边BC上(A?点和B点不重合).设∠AMN＝?．

(1) 用?表示线段AM的长度，并写出?的取值范围； (2) 求线段A?N长度的最小值．

A

N

????

M ?? B

A' C

19．（本题满分16分）

已知k?R,函数f(x)?mx?k?nx(0?m?1,0?n?1).

(1) 如果实数m,n满足m?1,mn?1,函数f(x)是否具有奇偶性？如果有,求出相应的k 值,如果没有，说明为什么?

(2) 如果m?1?n?0,判断函数f(x)的单调性； (3) 如果m?2，n?1，且k?0，求函数y?f(x)的对称轴或对称中心. 2 20．（本题满分16分）

已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．

（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明

理由．

a3a2n?1a2na1a2a4?????? （2）设Pn?，Qn?， a1?a2a3?a4a2n?1?a2na2?a3a4?a5a2n?a2n?1 若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式?n?Pn?Qn?n2?n恒成立．

（加试题卷）

21. 【选做题】在下面A,B,C,D四个小题中选择两题作答，每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤. A．选修4—1 几何证明选讲

在直径是AB的半圆上有两点M,N,设AN与BM的交点是P. 求证:AP?AN?BP?BM?AB

N M A

B．选修4—2 矩阵与变换

P B

2

已知矩阵M???2a?，其中a?R，若点P(1,?2)在矩阵M的变换下得到点P?(?4,0)， ??21?（1）求实数a的值；

（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.

C．选修4—4 参数方程与极坐标 求圆??3cos?被直线??x?2?2t,（t是参数)截得的弦长.

?y?1?4t

D．选修4—5 不等式证明选讲

已知a,b是不相等的正实数，

求证：(a2b?a?b2)(ab2?a2?b)?9a2b2.

【必做题】第22题和第23题为必做题, 每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.

22. 有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中2张写有数字0，2张写有数字1，2张

写有数字2；乙箱中也有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2.

（1）如果从甲、乙箱中各取一张卡片，设取出的2张卡片上数字之积为X，求X的 分布列及X的数学期望；

（2）如果从甲箱中取一张卡片，从乙箱中取两张卡片，那么取出的3张卡片都写有 数字0的概率是多少？

23. 如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2. （1）求异面直线PC与BD所成的角；

（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？ 若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.

参考答案与评分标准

一、填空题

1. 二 2. 6 3.a?5 4. 22 5. {2,3,4} 6. 5049 7.3

32231612,?)?(,2) ? 10. 5 11. m≥ 12.(?2222324n?213. 4 14.

3二．解答题

15. 解：设四发子弹编号为0（空弹），1，2，3， （1）设第一枪出现“哑弹”的事件为A，有4个基本事件,则：（2分）

8. 2 9.

P(A)?

1（4分） 4(2) 法一:前三枪出现“哑弹”的事件为B,则第四枪出现“哑弹”的事件为B, 那么P(A)?P(B)，（6分）

13?.（9分） 44法二:前三枪共有4个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条件的有三

个,（7分） P(B)?1?P(B)?1?P(A)?1?3 则P(B)?.（9分）

4