高中数学必修五《等差数列前n项和》优秀教学设计

必修五 2.3等差数列前n项和（第一课时）

教学目标

1．通过实例，探索等差数列的前n项和公式，了解倒序相加法； 2．掌握等差数列的前n项和公式，并能用其解决一些简单问题；

3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规

4．通过现实问题和数学小故事，让学生体会数学问题与现实生活紧密联系，培养学生的数学文化素养，激发学生探究的兴趣，增强学生学好数学的心理体验。 教学重点：

探索并掌握等差数列前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题。 教学难点：

等差数列前n项和公式推导思路的获得。 教学准备： 多媒体课件 教学过程：

一、创设问题，导入新课

出示图片

印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？

生：只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.

师：对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？

(学生自主探究，请学生说出自己的计算方法。很多学生都能采用高斯算法） 师：同学们 生：首尾配对相加的方法，就是：

1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050. 师：对，同学们想到的这个方法和小高斯想的不谋而合.

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?

过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5 050.

高斯回答的方法就是刚才大家说的方法.

作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.希望大家也能像高斯一样善于观察，敢于思考.

师：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？ 生：这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和. 师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题. 二、合作探究，推进新课

师：我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第49层，得到右图，则图中第1层到第49层一共有多少颗宝石呢?

生：这是求“1+2+3+…+49”奇数个项的和的问题，我们刚才的方法就不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.

师：嗯.“首尾配对”的算法分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们有没有简单的方法来解决这个问题呢?

生：有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为50个，共49行.则三角形中的宝石个数就是1+2+3+…+49.

师：妙!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我们将他的几何法写成

1+2+3+…+49 49+48+47+…+1

对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)

这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.

(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.

(这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决) (2) 求等差数列?an?的前n项的和Sn?

?an?2?an?1?an?a3?a2?a1生1：对于问题(2)，我用倒序相加法求的，因为Sn?a1?a2?a3? ，

Sn?an?an?1?an?2?再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m?n?p?q，则am?an?ap?aqn(a1?an).(Ⅰ) 2生2：对于问题(2)

因为Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?(a1?3d)

n(n?1) ??[a?(n?1)?d],1所以S?na?[1?2?3??(n?1)]d?na?d n112所以Sn?

n(n?1)d.(Ⅱ) 2【归纳小结】

师：两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.两个公式是可以互相转化的，把 （Ⅰ）中，便可以得到公式（Ⅱ）。而且我们可以发现，公式（Ⅰ）a?a?(n?1)d代入公式n1与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相似，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项

即Sn?na1?an，高是项数n,有利于我们的记忆.

【方法引导】

师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.

生：每个公式中都是5个量.

师：如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?

生：已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二). 三、知识应用

【例1】(直接代公式) (1)1+3+5+…+(2n-1) (2)2+4+6+…+2n

(3)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n. (让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(2)，并请同学回答）

n(1?n?1)n(2n?2)生：(1)1+3+5+…+(2n-1)= =n2；(2)2+4+6+…+2n= =n(n+1).

22师：第(3)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)

生1：(3)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.

生2：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.

师：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.

【例2】（课本例1）2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

【分析】让学生读题、审题并找出有用的信息。

生：由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.

师：这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.

解：根据题意，从2001~2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的资金，其中 a1?500， d=50.

那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为

10?（10?1） Sn?10?500??50?7250（万元）

2答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元. 【方法总结】

师：本题是应用题，解决的关键是建立数学模型，根据题意：＂从2001~2010年，每年投入的经费都比上一年增加50万元＂.所以，可以构造一个等差数列，利用等差数列的知识解决．

【例3】（课本例2）已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

【分析】等差数列前n项和公式就是一个关于a1，n，an或a1，n，d的方程．若要确定其前n项求和公式，则必须知道什么？

生：必须要确定首项a1与公差d.师

生：由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得.

（方法一）解：由题意知 S10?310， S20?1220，

将它们代入公式 Sn?na1?（nn?1） d，2?10a1?45d?310，得到 ?

?20a1?190d?1220． 解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4，d?6，

（nn?1）?6?3n2?n. 2a?a（方法二）解： S10?110?10?310

2所以 Sn?4n?得 a1?a10?62； ① S20?a1?a20?20?1220 2所以 a1?a20?122； ② ②-①，得

10d?60，