初三数学二次函数知识点总结 12份

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

a?0）b，c是常数，1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，的函数，叫做二次函数。 这

c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，数．

2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式 二次函数的基本形式y?a?x?h??k的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 k? ?h，k? ?h，性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随X=h x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值k．

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： k?； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax?bx?c变成

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y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c） 四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b?4ac?b2b4ac?b2?者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??222五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴的交点?0，没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y?ax2?bx?c的性质 ?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?． 4a?2a?2a当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小2a2a2a4ac?b2值． 4a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，时，y随?．当x??2a4a2a2a??bb4ac?b2． x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；

2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．a决定了抛物线开口的大小和方向，a第 2 页 共 3 页

的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

ab的符号的判定：对称轴x??b在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是2a“左同右异”

3. 常数项c c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： ① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方b2?4ac程ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?. ② 当??0时，图象与x轴只有

a2一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任

何实数，都有y?0；2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

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