初中数学八年级上册《最短路径问题》优秀教学设计

13.4 课题学习 最短路径问题

教学目标

1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.

2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 教学过程

教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景 引入课题 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段学生思最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线考教师展示问段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活题，并观中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探察图片，究数学史中著名的“将军饮马问题”． 获得感（板书）课题 性认识. 二、自主探究 合作交流 建构新知 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 动手画 活动1：思考画图、得出数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． 直线 B 观察口 答 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望. 为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力. 。 。A l

师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． B A l C B′ 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2：尝试解决数学问题 问题2 ： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ B 问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ 。 。A l 动手连线 观察口答 独立思考 合作交流 汇报交流成果，书写理由. 思考感悟活动1中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来 学生独立完成，集体订正 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力. 达到轴对称知识的学以致用 注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决 及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结. 学以致用，及时巩固 B A

师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相 补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求． 如图所示： B A 学生独 l 立完成， C 集体订 正 B 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 教师展示：证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点 C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． ′ 注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.

A C B l C 方法提炼： 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题4 练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． C Q 河岸 山 A B P 大桥 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”． 问题5 造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） B 互相交流解题经验 独立完成，交流经验 观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决 提炼思想方法：轴对称，线段和最短 体会转化思想， 体验轴对称知识的应用