2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用直线AE，AF的方程即可得到点M，N，及中点P的坐标，再利用斜率的计算公式即可证明．

【解答】解：（Ⅰ）依题得

22

解得a=4，b=1．

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x﹣1）． 由

2222

得（1+4k）x﹣8kx+4k﹣4=0．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则直线AE，AF的方程分别为：令x=3， 则M所以k?k′==

，N

，所以P

，，

． ，

．

=

=

．

第29页（共36页）

21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）． （1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；

（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，设出方程的两根为x1，x2，得到

，得到

，

，确定a的符号，求出g

（x1）﹣g（x2）的表达式，根据函数的单调性求出其最小值即可． 【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），

，

令f′（x）=0，得x﹣ax+1=0，

①当0＜a≤2时，△=a2﹣4≤0，此时，f′（x）≥0恒成立， 所以，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增； ②当a＞2时，△=a2﹣4＞0，

2

解x﹣ax+1=0的两根为：

2

，，

当当

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

第30页（共36页）

当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

综上得，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为递减区间为（2）

；

，定义域为（0，+∞）， ，

令g′（x）=0，得x+ax+1=0，其两根为x1，x2，且所以，∴=设

，x∈（0，e]，

，

，

，∴a＜0．

2

， ，

，

则（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min． ∵

当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0， ∴h（x）在（0，e]上单调递减； ∴∴

，

．

，

第31页（共36页）

四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB． （1）若CG=1，CD=4．求（2）求证：FG∥AC．

的值．

【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此

=

=4；

22（2）根据切割线定理证出AB=AD?AE，所以AC=AD?AE，证出

=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠

ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O， ∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED． 因此△CGF∽△CDE，可得又∵CG=1，CD=4， ∴

=4；

=

，

证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，

第32页（共36页）