2017-2018学年高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案（含解析）新人教A版选修4-4

2倍，可得到椭圆

x′2y′2

9＋4

＝1.

??x′＝λ?坐标伸缩变换φ：??y′＝μ

x，λ＞0，y，μ＞0.

注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，

平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换φ.

5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x＋9y＝36变成曲线x′＋y′＝1.

??x′＝λ

解：设变换为?

?y′＝μ?

2

2

2

2

x，λ>0，y，μ>0，

可将其代入x′＋y′＝1，得λx＋μy＝1.将

222222

429222

4x＋9y＝36变为 x＋y＝1，

3636

12122222

即x＋y＝1，与λx＋μy＝1比较， 9411比较系数得λ＝，μ＝. 32

??

∴?1

y′＝??2y，

x′＝x，

1

3

122

即将椭圆4x＋9y＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标

3

122

变为原来的，可得到圆x′＋y′＝1.

2

??x′＝2x，

6．求4x－9y＝1经过伸缩变换?

?y′＝3y?

2

2

后的图形所对应的方程．

??x′＝2x，

解：由伸缩变换?

??y′＝3y

1

x＝x′，??2得?1

y＝??3y′，

2

将其代入4x－9y＝1，

22

?1?2?1?2

得4?x′?－9?y′?＝1.

?2??3?

整理，得x′－y′＝1.

∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′－y′＝1.

课时跟踪检测(一)

5

22

2

一、选择题

1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A．椭圆 B．比原来大的圆 C．比原来小的圆 D．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．

2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．

3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN―→|·|MP―→|＋MN―→·NP―→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )

A．y＝8x B．y＝－8x C．y＝4x D．y＝－4x

解析：选B 由题意，得MN―→＝(4,0)，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)，由|MN―→|·|MP―→|＋MN―→·NP―→＝0，

得42

2

2

2

x＋

2

＋y＋4(x－2)＝0，整理，得y＝－8x. 22

4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )

x＝2x′??A.?1

y＝y′??3

x′＝2x??

B.?1

y′＝y?3?

??x＝2x′ C.??y＝3y′?

??x′＝2x D.?

?y′＝3y?

??x′＝λ解析：选B 设??y′＝μ?x，λ>0，y，μ>0， 则μy＝sin λx，

1即y＝sin λx. μ11

比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，则有＝3，λ＝2.

μμ

x′＝2x，??1∴μ＝，λ＝2.∴?13y′＝y.?3?二、填空题

??x′＝2x，5．y＝cos x经过伸缩变换?

?y′＝3y?

后，曲线方程变为________．

??x′＝2x，

解析：由?

??y′＝3y，

1

x＝x′，??2得?1

y＝??3y′，

代入y＝cos x，

6

111

得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′. 322答案：y＝3cos2

2

x′

2

2

6．把圆X＋Y＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x＋＝1，则坐标变换公式是________．

16

??x＝λ

解析：设?

??y＝μ

y2

X Y

λμ

，，

??λ

则?yY＝??μ.

2

xX＝，

2

代入X＋Y＝16得 2＋2＝1.

16λ16μ

22

x2y2

∴16λ＝1,16μ＝16. 1??λ＝，4∴???μ＝1.

X??x＝，答案：?4

??y＝Y

X??x＝，

故?4??y＝Y.

7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC的周长为10，

∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4， 即有|AB|＋|AC|＝6＞4.

∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4. ∴a＝3，c＝2，b＝5.

∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 95答案：＋＝1(y≠0)

95三、解答题

8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x－36y－8x＋12＝0变成曲线x′－y′－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．

解：x－36y－8x＋12＝0可化为?

2

2

2

2

2

2

2

x2y2

x2y2

?x－4?2－9y2＝1.①

??2?

x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②

7

x－4??x′－2＝，2比较①②，可得?

??y′＝3y，

x??x′＝，

2即???y′＝3y.

122

所以将曲线x－36y－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3

2倍，就可得到曲线x′－y′－4x′＋3＝0的图象．

9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：1

|AM|＝|BC|.

2

2

2

证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．

??则M点的坐标为?，?. ?22?

由于|BC|＝b＋c， |AM|＝ 2

2

bcb2c21＋＝b＋c， 442221故|AM|＝|BC|. 2

x2y2222

10．如图，椭圆C0：2＋2＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x＋y＝t1，b

abA1，A2分别为C0的左、右顶点，动圆C1与椭圆C0相交于A，B，C，D四点．求直线AA1与直

线A2B交点M的轨迹方程．

解：设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)， 则直线A1A的方程为y＝

y1

x1＋a(x＋a)，①

8

直线A－y1

2B的方程为y＝

x－a(x－a)．② 1由①②，得y＝－y2

2

122

x2－a2(x－a)．③

1由点A(xyx2y211

1，1)在椭圆C0上，故a2＋b2＝1.

2

从而y2＝b2

1

???1－x1a2???

，代入③，得 x2a2－y2

b2

＝1(x<－a，y<0)，此方程即为点M的轨迹方程．9