2017-2018学年高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案（含解析）新人教A版选修4-4

一 平面直角坐标系

1．平面直角坐标系

(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．

(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．

2．平面直角坐标系中的伸缩变换

(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．

(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，??x′＝λ在变换φ：?

?y′＝μ?

xλ＞yμ＞

的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

求轨迹方程问题 设A是单位圆x＋y＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求解． 如图，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|， 1所以x0＝x，|y0|＝|y|. ①

22m因为A点在单位圆上运动， 所以x0＋y0＝1. ② 将①式代入②式，

2

2

y2

即得所求曲线C的方程为x＋2＝1(m>0，且m≠1)．

m2

因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，

所以当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m－1)，(0，m－1)．

求轨迹的常用方法

(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．

(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程． (3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．

(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．

1．二次方程x－ax＋b＝0的两根为sin θ，cos θ，求点P(a，b)的轨迹方程

2

2222?其中|θ|≤π?. ??4??

解：由已知可得 ?a＝sin θ＋cos θ， ①????b＝sin θcos θ. ②

①－2×②，得a＝2b＋1. π?π?∵|θ|≤，由sin θ＋cos θ＝2sin?θ＋?，

4?4?知0≤a≤2. 11

由sin θcos θ＝sin 2θ，知|b|≤. 22

∴点P(a，b)的轨迹方程是a＝2b＋1(0≤a≤2)．

2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求点A的轨迹方程．

解：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则D(0,0)，

2

22B(－2,0)，C(2,0)．

设A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝x＋y.

22

2

又|AD|＝3，

∴x＋y＝3，即x＋y＝9(y≠0)． ∴点A的轨迹方程为x＋y＝9(y≠0).

用坐标法解决几何问题 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE. 由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．

如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． 则直线AC的方程为

2

2

222

2

hy＝－x＋h，

a即：hx＋ay－ah＝0. 直线AB的方程为y＝x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0.

由点到直线的距离公式，得|BD|＝|CE|＝

|2ah|

.

|2ah|

haa2＋h2

，

a2＋h2

∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.

建立平面直角坐标系的原则

根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．

3．求证等腰梯形对角线相等．

已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC.求证：AC＝BD.

3

证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A(－a，h)，B(－b,0)， 则D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝|BD|＝b＋aa＋b2

2

＋h，

2

2

＋h.

∴|AC|＝|BD|，

即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.

4．已知△ABC中，D为边BC的中点，求证：AB＋AC＝2(AD＋BD)． 证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．

设B(a,0)，C(b，c)， 则D?

2

2

2

2

?a＋b，c?，

?2??2

2

2

所以AD＋BD ＝

a＋b4

2

＋＋4

c2a－b4

2

＋ 4

c2

1222

＝(a＋b＋c)， 2又AB＋AC＝a＋b＋c， 所以AB＋AC＝2(AD＋BD). 直角坐标系中的伸缩变换 222222222 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x＋y＝1变成曲线 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换． ??x′＝λ 设变换为??y′＝μ?

22x′2y′29＋4＝1. x，λ>0，y，μ>0. 22

λxμy代入方程＋＝1，得＋＝1.

9494与x＋y＝1比较，将其变形为 ＝3，μ＝2.

??x′＝3x，

∴?

?y′＝2y.?

2

2

x′2y′2

22

λ2μ2

x＋y＝1，比较系数得λ94

22

即将圆x＋y＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的

22

4