[高考真题]2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷1 数学试卷含答案（理科）

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)

理 数

本卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z满足A.1

-

=i,则|z|=( )

B.

C.

D.2

2.sin20°cos10°-cos160°sin10°=( ) A.-

2

B.

n

C.-

D.

3.设命题p:?n∈N,n>2,则?p为( ) A.?n∈N,n>2

2

n

B.?n∈N,n≤2

2n

C.?n∈N,n≤2

2n

D.?n∈N,n=2

2n

4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648

B.0.432

2

C.0.36 D.0.312

5.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若 · <0,则y0的取值范围是( ) A. -

,

B. -

,

C. -

,

D. -

,

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

=3 ,则( ) 7.设D为△ABC所在平面内一点,

+ A. =-

+ C. =

= - B.

- D. =

8.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )

A. - , ,k∈Z C. -, ,k∈Z

B. - , ,k∈Z

D. -, ,k∈Z

9.执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )

A.5

2

5

B.6

52

C.7 D.8

10.(x+x+y)的展开式中,xy的系数为( ) A.10

B.20

C.30

D.60

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )

A.1

x

B.2 C.4 D.8

12.设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( ) A. - ,

B. - ,

C. ,

D. ,

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= .

14.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .

- ,

15.若x,y满足约束条件 - ,

的最大值为 . 则

- ,

16.在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, +2an=4Sn+3.

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=

,求数列{bn}的前

n项和.

18.(本小题满分12分)

如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC;

(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

19.(本小题满分12分)

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6 563 6.8 (xi- ) 2 (wi- ) 2 (xi- )(yi- ) (wi- )(yi- ) 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ,

.

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)