第1章 张量分析基础讲诉

εijk为置换符号，定义为

εijk?1????1?0??i,j,k???1,2,3???2,3,1???3,1,2??i,j,k???2,1,3???1,3,2???3,2,1?

如果指数重复6、 求和约定及矢量和点的分量表示

Einstein求和约定：两个相同的指标表示对（1, 2, 3）遍历求和，即

这两个相同的指标称为哑标（dummy index），可用任意两个相同的指标表示，即：

矢量的分量表示：

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（j=1, 2, 3）

uj则称为u关于Cartesian坐标系基矢的分量，也可以写成：

以此类推，可将点x的坐标写成：

矢量运算的分量表示：

ε-δ恒等式：

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二、张量代数

1、 张量的定义

由若干坐标系改变时满足一定坐标转换关系的有序数组成的集合定义为张量。 例如：由9个有序数组成的集合Tij?i,j?1,2,3?，在坐标转换时满足Ti'j'?Ci'kCj'lTkl?i',j'?1,2,3?，则Tij就是一个张量（二阶张量）。Ci'k为系数转换矩阵。上式中自由指标的个数与所乘坐标转换系数的次数相等，称为张量的阶数。

m

n 在n维空间中，m阶张量应是个数的集合。

2、 二阶张量的线性变换性质

Gurtin等将二阶张量理解为矢量空间?之间的线性变换，即认为一个张量S将矢量u线性映射为另一个矢量v，即有：

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S张量的线性特性可以体现在：

张量相等：当且仅当对任意矢量v，Sv?Tv成立时，有S?T。

同样，对任意矢量a和b，当且仅当S = T时，有a?Sb?a?Tb

由此可定义张量S和T之和S + T以及张量S和标量?的乘积?S为：

（对任意v）

可证明S + T和?S也都是二阶张量。 3、 几种特殊张量

1) 零张量和单位张量： 0，1

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