2021届高考数学(理)一轮复习学案：第2章函数第7节对数与对数函数

A B C D

1x(2)当0＜x≤时，4＜logax，则a的取值范围是( )

2A.?0，

??2?? 2?

B.?

?2?

，1? ?2?

C.(1，2) D.(2，2)

11?1?(1)D (2)B [(1)对于函数y＝loga?x＋?，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝

22?2?1?1??1??1?loga?x＋?的图像恒过定点?，0?，排除选项A、C；函数y＝x与y＝loga?x＋?在各自定义

a?2??2??2?域上单调性相反，排除选项B，故选D.

(2)构造函数f(x)＝4和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，

x?1??1??1?当0＜a＜1时，画出两个函数在?0，?上的图像，可知f??＜g??，

?2??2??2?

1

即2＜loga，

2

则a＞

2， 2

所以a的取值范围为?[母题探究]

?2?

，1?.] ?2?

?1?2

1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x－logax＜0对x∈?0，?恒成立，求实数a的

?2?

取值范围．

?1?222

[解] 由x－logax＜0得x＜logax，设f1(x)＝x，f2(x)＝logax，要使x∈?0，?时，

?2??1?22

不等式x＜logax恒成立，只需f1(x)＝x在?0，?上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即

?2?

可．当a＞1时，显然不成立；

当0＜a＜1时，如图所示．

?1??1?2

要使x＜logax在x∈?0，?上恒成立，需f1??≤

?2??2?

f2??，所以有??2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1. 22

?1????1???

12116116

?1?即实数a的取值范围是?，1?. ?16?

1

2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤时，x＜logax，求实数a的取值范围．

4

?1?[解] 若x＜logax在x∈?0，?成立，则0＜a＜1，且y＝x的图像在y＝logax图像?4?

的下方，如图所示，

0＜a＜1，??11

＜loga，所以?1144a＞，??24

由图像知

解得

1

＜a＜1. 16

?1?即实数a的取值范围是?，1?. ?16?

1．(2019·合肥模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图像为( )

A B

C D

A [令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，

所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D. 31?3?当x＝时，f??＝ln ＜0，

22?2?排除选项B，故选A.]

2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的

图像如图，则下列结论成立的是( )

A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1

D [由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.] 3．设方程10＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( ) A．x1x2＜0 C．x1x2＞1

xxB．x1x2＝0 D．0＜x1x2＜1

D [作出y＝10与y＝|lg(－x)|的大致图像，如图． 显然x1＜0，x2＜0.

不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0， 所以101＝lg(－x1)，102＝－lg(－x2)， 此时101＜102，即lg(－x1)＜－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.] 考点3 对数函数的性质及应用

解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点

(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．

(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

比较大小

(1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5，则a，b，c的

大小关系为( )

A．a＜c＜b C．b＜c＜a

(2)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝logA．a＞b＞c C．c＞b＞a

B．a＜b＜c D．c＜a＜b

1

，则a，b，c的大小关系为( ) 3

B．b＞a＞c D．c＞a＞b

0.2

xxxx10.2

(1)A (2)D [(1)因为a＝log52＜log55＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.5

2

?1?10.2

＝??＞，0.5＜1，所以a＜c＜b，故选A. ?2?2

1

(2)因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log3＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故选D.]

对数值大小比较的主要方法

(1)化同底数后利用函数的单调性． (2)化同真数后利用图像比较．

(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．

解简单对数不等式

3

(1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．

4

(2)若loga(a＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．

33?3??1?(1)?0，?∪(1，＋∞) (2)?，1? [(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜； 44?4??2?3

当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.

4

2

?3?∴实数a的取值范围是?0，?∪(1，＋∞)． ?4?

(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a＋1＞2a， 又loga(a＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1， 1?1?同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈?，1?.] 2?2?

对于形如logaf(x)＞b的不等式，一般转化为logaf(x)＞logaa，再根据底数

的范围转化为f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而对于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．

和对数函数有关的复合函数

解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

b2

2

已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；