第七章 机械振动 机械波 - 图文

第七章 机械振动 机械波

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第1课时 简谐运动 简谐运动的图象

复习准备

感受高考 考什么？

1.弹簧振子，简谐运动

简谐运动的振幅、周期和频率，简谐运动的振动图象（Ⅱ） 2.单摆，在小振幅条件下单摆做简谐运动，周期公式（Ⅱ） 知道什么是弹簧振子.理解简谐运动的周期、频率、振幅的含义.理解简谐运动图象的物理意义并能用图象处理有关实际问题.知道单摆、单摆周期的含义，能够熟练应用单摆周期公式解决实际问题. 怎么考？

（2006广东理综，27） 一质点做简谐运动的图象如图7-1-1所示，下列说法正确的是（ ）

图7-1-1

A.质点运动频率是4 Hz

B.在10要内质点经过的路程是20 cm C.第4末质点的速度是零

D.在t=1 s和t=3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同

解析思路：本题涉及简谐运动图象知识，解题的关系是明确图象的物理意义，考查了考生识图能力和分析、综合能力.振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图象可看出，质点运动的周期T=4 s，其频率f=

155=0.25 Hz；10 s内质点运动了T，其运动路程s=×4

22TA=20 cm;第4 s末质点在平衡位置，其速度最大；t=1 s和t=3 s两时刻，由图象可看出，位移

大小相等，方向相反，由以上分析可知，B选项正确. 参考答案：B 知识清单 1.简谐运动

简谐运动的位移有两种情况：（1）某一时刻的位移，均是以平衡位置为起点，方向应背离平衡位置.（2）某一过程中的位移，则起点应是该过程的初位置，方向不一定背离平衡位置.

回复力是一种以效果命名的力，是指振动物体在沿振动方向上所受的合力. 2.简谐运动的图象

简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象（注意简谐运动的具体图象形状，取决于t=0时振动物体的位置和正方向的选取，可参看“例1”）.简谐运动图象的应用如下：（1）可直观地读取振幅A、周期T、各时刻的位移x及各时刻的振动速度的方向和加速度的方向；（2）可判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况. 3.单摆

单摆是一个理想化模型，其理想化条件是：轻绳不可伸长、质量不计；摆球直径远小于绳长.

单摆做简谐运动的条件是：最大摆角不大于10°，单摆的等时性是指单摆的周期与振幅无关，另外单摆的周期也与摆球的质量无关.单摆的摆长是指悬点到摆球重心的距离.

单摆在振动过程中的回复力分析：单摆振动过程是以最低点为平衡位置的往复运动，故应有回复力，同时单摆的运动也是一个圆周运动，故运动过程除最高点外应有向心力.单摆在运动过程中受到重力和拉力的作用，若把重力沿绳的方向和与绳垂直的方向分解，则绳的拉力和重力沿绳的方向的合力提供向心力，重力沿与绳垂直方向的分力提供回复力.

复习进行

三点剖析

1.简谐运动的特点及其图象

简谐运动具有对称性和周期性.

质点做简谐运动时，在同一位置，质点的位移相同（一般均指相对平衡位置的位移），回复力、加速度、动能和势能也相同，速度的大小相等，但方向可能相同也可能相反.

在关于平衡位置对称的两个位置，质点的动能、势能分别相等，回复力、加速度大小相等、方向相反；速度的大小相等，方向可能相同、也可能相反，运动的时间也对应相等；一个做简谐运动的质点，经过时间t=nT(n为正整数)，则质点必回到出发点，而经过t=(2n+1)

T(n2为自然数)，则质点所处位置必与原来位置关于平衡位置对称.

解决本课时问题常用的辅助方法有两个，一是画质点振动的示意图，即根据质点振动的特点画出质点的运动草图；二是画出质点的简谐运动的图象.

简谐运动的图象表示做简谐运动的质点的位移与时间变化的关系，它是一条正弦（或余弦）曲线，不是质点运动的轨迹.

从振动图象可以看出质点的振幅、周期，它在任意时刻的位移以及速度方向.凡与位移x有关的物理量（速度v，加速度a,回复力F等）都可按位移x展开，均可在图象上得到间接描述，为进一步分析质点在某段时间内的运动情况奠定了基础.

【例1】一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置(如图7-1-2甲所示)，以某时刻作为计时零点（t=0），经过

1周期，振子具有最大加速度.那么图7-1-2乙所示的四个位移—4时间图象中能正确反映运动情况的是（ ）

甲

图乙 图7-1-2

解析：题中没有规定正方向，由a=?kx得，当振子具有最大加速度时，振子的位置在图甲m中的A或B位置，所以在t=0时刻，振子的位置在平衡位置O，但运动方向不能确定，所以应选A或D（若规定水平向右为正方向，则答案只能为D）. 答案：AD

方法点拨：简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象.简谐运动的振动图象的具体形状，由t=0时刻的位置、运动方向及振幅决定.所以在画简谐运动图象时应先明确正方向、t=0时刻的位置及运动方向，然后画出振动图象.

2.单摆周期公式中的等效摆长和等效重力加速度 （1）单摆的周期公式T=2π

l,只适用于悬点固定且在竖直面内振动的情况.其中l为等效摆g长，是悬点到重心的距离，g是与单摆所处物理环境有关的等效重力加速度. 用等效法解题非常简捷.确定等效摆长的关键是确定等效悬点（即摆动小球运动轨迹的圆心），等效悬点到摆球重心的距离即为等效摆长. 确定等效重力加速度时要知道以下三种情况：①不同星球表面，g=

GM(M、R分别是R2星球的质量和半径)； ②单摆处于超重或失重状态，则等效重力加速度g等效=g±a，当单摆处于完全失重状态时，g等效=0.

（2）小球在光滑圆弧上的往复滚动，当圆弧半径R比小球半径r大得多时，其运动和单摆的振动完全等同.只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动.这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差.

【例2】如图7-1-6所示，将摆长为L的单摆悬在以加速度a匀加速上升的电梯中，其振动的周期为多少？

图7-1-6

解析：由于悬在以加速度a匀加速上升的电梯内的单摆处于超重状态，其等效重力加速度为（a+g），故其振动周期为T=2π

L. a?g答案：2π

L a?g3.弹簧振子的运动和牛顿运动定律的结合

（1）回复力：使振子返回平衡位置的力.回复力时刻指向平衡位置，它是以效果命名的力，是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某一个力，还可能是某一个力的分力.注意回复力不一定等于合外力.

（2）判断简谐运动的基本思路：正确进行受力分析，找出物体的平衡位置，设物体的位移为x，证明回复力满足关系式F回=-kx.

（3）判断简谐运动中回复力、加速度、速度变化的一般思路：

回合由位移x????回复力????加速度

F-kxF?ma速度v

这类题目经常涉及到物理知识的综合应用，如弹簧振子的简谐运动特点、牛顿运动定律的知识、两物体分离时的临界条件、选择对象的整体法与隔离法等.

【例3】在一光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子的质量为M，振子的最大速度为v0，如图7-1-9所示.当振子运动到最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，则：要保持物体和振子一起振动，二者间的动摩擦因数至少为多大？

图7-1-9

解析：由弹簧振子的简谐运动可知，振子在最大位移处时具有最大加速度，m在此位置放在M上时，m最易与M发生相对滑动，当二者间的动摩擦因数最小（设为μ0）时，m受到最大静摩擦力作用，则Ff=μ0mg，由牛顿第二定律得：Ff=ma，对M和m整体受力分析得：kA=(M+m)a.由上述各式得μ0=

kAkA，所以二者间的动摩擦因数至少为.

(M?m)g(M?m)g答案：

kA

(M?m)g各个击破 类题演练1

一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点.图7-1-3中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向.图7-1-4给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的图象的是（ ）