函数y=Asin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单应用

§4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函

数模型的简单应用

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

ππ

2x＋?的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，1．将函数y＝sin?4??4所得到的图象解析式是( )

A．f(x)＝sin x B．f(x)＝cos x C．f(x)＝sin 4x D．f(x)＝cos 4x

ππ?

2．设函数f(x)＝2sin??2x＋5?.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )

1

A．4 B．2 C．1 D.

2

ππ

3．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，

34则θ的一个可能取值是( )

55711

A.π B．－π C.π D．－π 12121212

π4π

4．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )

33

243

A. B. C. D．3 332

5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，π1ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是

2100A．－5安 B．5安 C．53安 D．10安 二、填空题(每小题6分，共24分)

6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝__________.

7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区上的图象如图所示，则ω＝________.

π

2x＋?的图象关于点P(x0,0)成中心对称，8．设函数y＝2sin?3??

若间[－π，0]( )

π

－，0?，则x0＝________. x0∈??2?

πππ

9．设函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在

2212下面四个结论中：

π?πππ

，0对称；②图象关于点?，0?对称；③在?0，?上是增函数；④在?－，0?上是①图象关于点??4??3??6??6?增函数，所有正确结论的编号为________． 三、解答题(共41分)

π

10．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的

2

如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数象， 试写出变换过程．

π

11．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)

2

一部分如图所示 (1)求函数f(x)的解析式；

2

－6，－?时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值(2)当x∈?3??及相应的x的值．

π

12．(14分)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)

2

象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝6与函数y＝f(x)＋g(x)

4的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 答案 1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 3π

6. 7. 3 8. － 9. ②④ 2610. 解 (1)由图象知A＝2.

5ππ?2π

－＝π，故ω＝＝2. f(x)的最小正周期T＝4×??126?Tπ?π

，2代入f(x)的解析式，得sin?＋φ?＝1. 将点??6??3?ππ又|φ|<，∴φ＝.

26

的一段图的图象的f(x)的图部分图象

与最小值

π2x＋?. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin?6??

? (2)方法一 y＝2sin x??????横坐标缩短为原来的π?2x＋π?. 2x＋????????y＝2sin?y＝2sin?纵坐标不变6??6??

1横坐标缩短为原来的2纵坐标不变1向左平移个坐标6?方法二 y＝2sin x????????y＝2sin 2x π

2x＋?. ???????y＝2sin?6??

向左平移个坐标12?11. 解 (1)由图象知A＝2，T＝8，

2ππ∵T＝＝8，∴ω＝.

ω4

π

－＋φ?＝0. 又图象过点(－1,0)，∴2sin??4?ππ?ππ

∵|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin??4x＋4?. 24(2)y＝f(x)＋f(x＋2)

ππ?πππ

x＋＋2sin?x＋＋? ＝2sin??44??424?ππ?πx＋＝22cos x. ＝22sin??42?423πππ－6，－?，∴－≤x≤－. ∵x∈?3??246

ππ2

∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值6；

463π

当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－22. 4

易错分析 y＝f(x)＋f(x＋2)化简错误，化简公式和方法不熟致误．

2π

12. 解 (1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝＝2，

T

π

将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，

12得y＝2sin(2x＋φ)的图象．

πππ

2x＋?. 于是φ＝2×＝，∴f(x)＝2sin?6??126ππ

x－?＋? (2)依题意得g(x)＝2sin?2??4?6

??＝－2cos??

2x＋π6??. 故y＝f(x)＋g(x)＝2sin??2x＋π6??－2cos??2x＋π

6?? ＝22sin??

2x－π

12??. 由22sin??2x－π12??＝6，得sin??2x－π12??＝32. ∵0

12<2x－12<2π－12.

∴2x－π12＝π3或2x－π2π

12＝3，

∴x＝5324π或x＝8

π，

∴所求交点坐标为?5π?24，6?3π

?或??8，6??. 易错分析 f(x)向右平移π4个单位得g(x)＝2sin??2??x－π4??g(x)＝2sin??2x－π4＋π

6??，忽略了x的系数2的作用． π

6??，学生易错为

＋