平面向量导学案

→→→

BE＝AE－AB＝c－a， →→→

CE＝AE－AC＝c－b， →→→

∴BD＝BC＋CD＝b－a＋c. 【我的收获】

三、课后知能检测

1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )

????????????????????????EFEFA．＝OF＋OE B．＝OF－OE ????????????????????????C．EF＝－OF＋OE D．EF＝－OF－OE

????????????解析：由减法的三角形法则知EF＝OF－OE.

答案：B

??2.下列各式中结果为O的有（ ）

BC?CA ②OA?OC?BO?CO

???????????????????????????③AB?AC?BD?CD ④MN?NQ?MP?QP

①AB?A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ 答案：C （ ）

??????????????????????????????????3.已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA?a,OB?b,OC?c则EF=

A．a?b B．b?答案：D

??????a C．c?b D．b?c

?????????????????????????4.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋DC＝BC＋DA；②AC????????????????????????????＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有 ( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

????????????????????????解析：①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，

????????右边＝DA＋DC，不一定相等；

????????????????②式的等价式是AC－BC＝AD－BD， ????????????????????AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；

[来源学§科§网]

????????????????????????ACDC③式的等价式是－＝AB＋BD，AD＝AD成立．

答案：C

????????????????5. 平行四边形ABCD中，若|AB?AD|?|AB?AD|，则必有 ( )

???????????????A. AD?0 B. AB?0或AD?0 C. 平行四边形ABCD是正方形 D. 平行四边形ABCD是矩形

[来源:Zxxk.Com]

【答案】 D

????6. 下列四式中不能化简为PQ的是 ( )

????????????A. AB?PA?BQ

[来源:Z§xx§k.Com]

??????????????????B. (AB?PC)?BA?QC

??????????????C. QC?QP?CQ

【答案】D

????????????D. PA?AB?BQ

????????????????7.在?ABC所在平面上有一点P，满足PA?PB?PC?AB，则?PBC与?ABC的面积

之比为（ ）

1123 A.3 B.2 C.3 D.4

【答案】C

????????????????????8. 若O是?ABC所在平面内一点，且满足|OB?OC|?|OB?OC?2OA|，则?ABC的形

状是( )

A. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 【答案】 B

B. 直角三角形 D. 等边三角形

9.已知正六边形ABCDEF，在下列表达式①BC?CD?EC；②2BC?DC；③

FE?ED；④2ED?FA中，等价的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D

【解析】

设正六边形的中心为O，BC?CD?EC?EC?BD?AE?EC?AC，

2BC?DC?2FE?EO?FE?FO?FD?AC，FE?ED?FD?AC， 2ED?FA?2AB?AF?AB?AO?AC，因此四个向量相等.

???????????????10.化简OP?QP?PS?SP的结果等于（ ）. ???????????????A.QP B.OQ C.SP D.SQ 【答案】B

????????????????????????11.化简：AB?DA?BD?BC?CA=__AB_____________.

????????????12.若菱形ABCD的边长为2，则AB?CB?CD=___________.

【答案】2

????????????13.（1）化简AC?BD?CD

（2）如图，平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,DC的中点，G为交点，若

????????????????AB=a，AD=b，试以a，b为基底表示DE、BF、CG．

?1???????????1??????1????【答案】（1）AB；（2）DE=a?b，BF=b?a，CG=?(a?b)

223????????????????AC?CDBD?AB解：（1）=

?????????????????????????1???1?DE?AE?AD?AB?BE?AD?a?b?b?a?b22 （2）

?????????????????????????1???1?BF?AF?AB?AD?DF?AB?b?a?a?b?a22 ????1????1????1??CG?CA??AC??(a?b)G是△CBD的重心，333

2.3.1 数乘向量

一、课前自主导学

【学习目标】

1.掌握数与向量积的定义以及运算律，并理解其几何意义.

2.了解向量的线性运算及其其几何意义，了解两个向量共线的判定定理与性质定理.. 【学习重点】实数与向量积的定义，运算律，向量共线的判定与性质. 【学习难点】理解向量共线的判定定理与性质定理. 【教材助读】（预习教材P80—P82） 探究：向量数乘运算与几何意义

???????问题1：已知非零向量a，作出：①a?a?a；②?a??a??a.

[来源:学科网ZXXK]??????

通过作出图形，你能否说明它们的几何意义？ 1．数乘向量

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa. (2)长度：|λa|＝|λ||a|.

?a

??当λ＞0时，与a的方向相同；

(3)方向：λa的方向?

?当λ＜0时，与a的方向相反.?

(4)几何意义：将表示向量a的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段

在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍． 2．运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a＝λ a＋μ a； (2)λ(μa)＝λμ a； (3)λ(a＋b)＝λ a＋λ b. 3. 共线向量定理

(1)．判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λ a，则向量b与非零向量a共线．

(2)．性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λ a

【预习自测】

1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有( ) (1)a与－λa的方向相反； (2)|－λa|≥|a|； (3)a与λ2a方向相同； (4)|－2λa|＝2|λ|·|a|. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．

来源学科网来源学科网Z,X,X,K]【答案】 B

2．下列各式计算正确的是( )

A．a＋b－(a＋b)＝2 a B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0 D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c

【解析】 A，不正确，结果应为0；B不正确，C不正确；D正确，故选D. 【答案】 D

3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD→→→

交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝( )

11211112A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 42332433