(江苏专用)2019高考数学二轮复习解答题专项练1立体几何(理)

1.立体几何

1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，点M在棱PD上，AM⊥PD，点N是棱PC的中点，求证：

(1) MN∥平面PAB； (2) AM⊥平面PCD.

证明 (1)因为在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD， 所以点M是棱PD的中点. 又点N是棱PC的中点， 所以MN是△PDC的中位线， 所以MN∥DC.

因为底面ABCD是矩形， 所以AB∥DC， 所以MN∥AB.

又AB?平面PAB, MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB.

(2)因为平面PAD⊥平面ABCD, CD?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD， 所以CD⊥平面PAD.

又AM?平面PAD，所以CD⊥AM.

因为PD⊥AM，CD⊥AM, CD∩PD＝D，CD?平面PCD，PD?平面PCD， 所以AM⊥平面PCD.

2.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝3，

PB＝PC，且M，N分别为BC，PA的中点.

(1)求证：DN∥平面PBC； (2)求证：MN⊥BC.

证明 (1)取PB的中点E，连结NE，CE，AC，

因为ABCD是直角梯形，AB∥DC， ∠ABC＝60°，DC＝1，AD＝3， 易得AC＝CB＝AB＝2. 又N为PA的中点， 所以NE∥CD且NE＝CD， 所以四边形CDNE是平行四边形， 所以DN∥CE.

又CE?平面PBC，DN?平面PBC， 所以DN∥平面PBC. (2)连结AM，PM. 因为PB＝PC， 所以PM⊥BC， 因为AC＝AB， 所以AM⊥BC，

又AM∩PM＝M，AM，PM?平面PAM， 所以BC⊥平面PAM. 因为MN?平面APM， 所以MN⊥BC.

3.(2018·扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，

EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点.

(1)求证：FH∥平面EDB； (2)求证：AC⊥平面EDB.

证明 (1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，

→→→

如图，以H为坐标原点，分别以HB，GH，HF的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

令BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，

D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)，G(0，－1,0)，

→

∴GE＝(0,0,1),

→→→又∵HF＝(0,0,1)，∴GE∥HF，

GE?平面EDB，HF?平面EDB，

∴FH∥平面EDB.

→→

(2)∵AC＝(－2,2,0)，GE＝(0,0,1)， →→

∴AC·GE＝0， ∴AC⊥GE.

又AC⊥BD，且GE?平面EDB，BD?平面EDB，GE∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点. (1)求证：MN∥平面BCC1B1；

(2)若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1.

证明 (1)方法一 如图，设BC的中点为H，连结NH，HC1. 1

在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，

2

在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点， 1

所以MC1∥AC，且MC1＝AC，

2所以NH∥MC1，且NH＝MC1，

所以四边形MC1HN为平行四边形，所以MN∥C1H， 又MN?平面BCC1B1，C1H?平面BCC1B1， 所以MN∥平面BCC1B1.

方法二 如图2，在侧面ACC1A1中，连结AM并延长交直线CC1于点Q，连结BQ.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，所以

AMA1M＝，因为M为A1C1的中点，所以M为AQ的中点.又因为N为MQMC1

AB中点，所以MN∥BQ，又MN?平面BCC1B1，BQ?平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1.

方法三 如图3，取A1B1的中点O，连结OM，ON. 在△A1B1C1中，因为O，M分别为A1B1，A1C1的中点，所以OM∥B1C1. 因为OM?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，所以OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1＝AB，又因为O，N分别为A1B1，AB的中点，所以OB1∥NB，

OB1＝NB，所以四边形OB1BN为平行四边形，所以ON∥B1B，又ON?平面BCC1B1，B1B?平面BCC1B1，

所以ON∥平面BCC1B1.

因为OM∥平面BCC1B1，ON∥平面BCC1B1，OM∩ON＝O，OM?平面OMN，ON?平面OMN，所以平面OMN∥平面BCC1B1，又MN?平面OMN，所以MN∥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1＝B1C1, M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1M?平面A1B1C1，所以B1M⊥平面ACC1A1，又B1M?平面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1.

5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.

(1)若弧BC的中点为D，求证：AC∥平面POD； (2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积. (1)证明 方法一 设BC∩OD＝E，