高中数学 课时分层作业7 函数的最大（小）值与导数 新人教A版选修2-2

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课时分层作业(七) 函数的最大(小)值与导数

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )

A．f(a)－g(a) C．f(a)－g(b)

B．f(b)－g(b) D．f(b)－g(a)

A [令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)， 又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减， ∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．] ln x2．函数y＝的最大值为( )

xA．e C．e A [令y′＝

2

－1

B．e 10

D．

3

ln x′x－ln x·x′1－ln x＝＝0(x＞0)， 22xx解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0.

y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，

1

所以ymax＝.] e3．函数f(x)＝x·e

2

1e

x＋1

，x∈[－2,1]的最大值为( )

【导学号：31062064】

A．4e C．e

C [∵f′(x)＝(x＋2x)e又当x∈[－2,1]时，e

x＋1

2

2

－1

B．1 D．3e

x＋1

2

＝x(x＋2)e

x＋1

，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.

＞0，

∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0； 当0＜x＜1时f′(x)＞0.

∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增． 又f(－2)＝4e，f(1)＝e， ∴f(x)的最大值为e.]

2

－1

2

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4．已知函数f(x)＝x－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )

A．16 C．32

2

3

B．12 D．6

C [∵f′(x)＝3x－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，

f(2)＝－8，

可知M－m＝24－(－8)＝32.]

5．函数f(x)＝x－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A．0≤a<1 C．－1

23

B．0

D．0

2

2

B [∵f′(x)＝3x－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x. 又∵x∈(0,1)，∴0

6．函数f(x)＝x－3x－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.

【导学号：31062065】

[解析] f′(x)＝3x－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，

2

3

2

f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)max＝k－76＝－71. [答案] －71

7．已知函数f(x)＝e－2x＋a有零点，则a的取值范围是________.

【导学号：31062066】

[解析] 函数f(x)＝e－2x＋a有零点，即方程e－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－e，y＝a有交点，而g′(x)＝2－e，易知函数g(x)＝2x－e在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－e的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－e，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．

[答案] (－∞，2ln 2－2]

8．已知函数f(x)＝2＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．

2

a2x－a[解析] 由f(x)＝2＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

xx3xxxxxxxxax金戈铁制卷

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且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－a(舍去)或x＝a.当0a时，

f′(x)>0.故x＝a是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(a)＝ln a＋1.要使f(x)

≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.

[答案] [e，＋∞) 三、解答题

9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x. (1)讨论f(x)的单调性；

2

?31?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．

?44??3?[解] 易知f(x)的定义域为?－，＋∞?. ?2?

24x＋6x＋2

(1)f′(x)＝＋2x＝

2x＋32x＋3＝2

2x＋1x＋1

.

2x＋3

2

3

当－0；

21

当－1

21

当x>－时，f′(x)>0，

2

1??3??1??从而f(x)在区间?－，－1?，?－，＋∞?上单调递增，在区间?－1，－?上单调递减． 2??2??2??1?31??1?(2)由(1)知f(x)在区间?－，?上的最小值为f?－?＝ln 2＋.

4?44??2?3971?3??1?又因为f?－?－f??＝ln＋－ln－

216216?4??4?49?311?

＝ln＋＝?1－ln?<0，

9?722?

?31?所以f(x)在区间?－，?上的最大值为 ?44?

f??＝＋ln. 4

10．已知函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a. (1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)≥2 017对于?x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围． [解] (1)f′(x)＝－3x＋6x＋9.

23

2

?1?1??16

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由f′(x)<0，得x<－1或x>3，

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.

因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a， 故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.

要使f(x)≥2 017对于?x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 017，解得a≥2 022.

[能力提升练]

1．已知函数f(x)＝－x＋ax－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )

A．－13 C．10

2

3

2

B．－15 D．15

A [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x＋2ax， 由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.

由此可得f(x)＝－x＋3x－4，f′(x)＝－3x＋6x， 易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4. 又∵f′(x)＝－3x＋6x的图象开口向下， 且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，

23

2

2

f′(n)min＝f′(－1)＝－9，

故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]

2．若函数f(x)＝3x－x在区间(a－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，11) C．(－1,2]

23

2

B．(－1,4) D．(－1,2)

C [由f′(x)＝3－3x＝0，得x＝±1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) 2(－∞，－1) － －1 0 －2 (－1,1) ＋ 1 0 2 (1，＋∞) － 由此得a－12＜－1＜a， 解得－1＜a＜11.

又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2. 综上，－1＜a≤2.]

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