求函数极值的几种方法

求解函数极值的几种方法

1.1函数极值的定义法

说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法

定理（充分条件）设函数f(x)在x0处可导且f?(x0)?0，如果x取x0的左侧的值时，f?(x)?0，x取x0的右侧的值时，f?(x)?0，那么f(x)在x0处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件.

例1 求函数f(x)?x2(x?1)3的单调区间和极值 解 f(x)?x2(x?1)3 (???x???)， f?(x)?2x(x?1)3?3x2(x?1)2?x(x?1)2(5x?2). 令 f?(x)?0，得到驻点为x1?0，x2?2，x3?1.列表讨论如下： 5表一：f(x)?x2(x?1)3单调性列表

x f'(x) (??,0) 0 0 极大值 2(0,) 52 52(,1) 51 0 非(1,??) + - 0 极小值 + + f(x) ? f(0)?0 ? 2f()??108/3125 5? 极值 ? 说明：导数方法适用于函数f(x)在某处是可导的，但是如果函数f(x)在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数f(x)在某点x0可导. 1.3 Lagrange乘法数方法 对于问题：

Min z?f(x,y)

s.t (x,y)?0

如果(x*,y*)是该问题的极小值点，则存在一个数?，使得

fx(x*,y*)??gx(x*,y*)?0

fy(x*,y*)??gy(x*,y*)?0

利用这一性质求极值的方法称为Lagrange乘法数

例2 在曲线y?1x3(x?0)上求与原点距离最近的点.

解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函

1数w?x2?y2??(y?3)

x然后，令此函数对x的导数和对y的导数分别为零，再与原等式约束合并得

3??2x??04?x??2y???0 ?1?y?3x??x?83?解得 ?1 8?y?27?这是唯一可能取得最值的点 因此 x?83,y?81为原问题的最小值点. 27说明：Lagrange乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果(x*,y*)是该问题的极小值点则存在一个数?，使得

fx(x*,y*)??gx(x*,y*)?0

fy(x*,y*)??gy(x*,y*)?0

这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题

由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n元函数f(p)的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足gradf(p0)?0的点p0；②在p0点的Hessene矩阵H，判定H正定或负定，若H正定则f(p)在p0点取得极小值；若H负定则f(p)在p0点取得极大值.

例3 求三元函数f(x,y,z)?x2?2y2?3z2?2x?4y?6z的极值

?fx?2x?2?0? 解 先求驻点，由 ?fy?4y?4?0 得x??1,y??1,z??1

?f?6z?6?0?z所以驻点为p0(?1,?1,?1).

再求Hessene矩阵，

因为 fxx?2,fxz?0,fxy?0,fyy?4,yz?0,fyx?0,fzx?0,fzy?0,fzz?6

?200?? 040所以 H??????006??由此可知，H是正定的，所以f(x,y,z)在p0(?1,?1,?1)点取得极小值：

f(?1,?1,?1)?(?1)2?2?(?1)2?3?12?2?(?1)?4?(?1)?6?1?6??6 说明：此方法适合多元函数求极值的放法，要注意求偏导数以及 Hessene矩阵.