数字信号处理习题及答案

7 0?n?5?x(n), 设有两序列 x(n)?? 其他n?0, 0?n?14?y(n), y(n)?? 其他n?0, 各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积的IDFT,设所得结果为f(n),问f(n)的哪些点对应于x(n)?y(n)应该得到的点。

解：序列x(n)的点数为N1?6,y(n)的点数为N2?15故又x(n)*y(n)的点数应为：N?N1?N2?1?20f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L?15所以，混叠点数为N?L?20?15?5。用线性卷积结果 以15 为周期而延拓形成圆周卷积序列 f(n) 时，一个周期 内在n?0到n?4(?N?L?1)这5点处发生混叠，即f(n) 中只有n?5到n?14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。

8.已知x(n)是N点有限长序列,X(k)?DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n) 0?n?N-1?x(n), y(n)?? N?n?rN-1?0, 试求DFT[y(n)](rN点DFT)与X(k)的关系。解: X(k)?DFT?x?n??? Y(k)?DFT?y(n)?? ?

N?1n?0?j2?nkeNN?1n?0?x(n)rN?10?k?N?1?n?0nky(n)WrN??x(n)WnkrN?n?0N?1?j2πnkx(n)eNrk?X()rk?lr(l?0,1,???N?1)?在一个周期内,Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入(r?1)个其他的数值k(不一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y(k)与X()相等。r

9已知x(n)是长为N点的有限长序列,X(k)?DFT[x(n)]现将x(n)的每两点之间补进r?1个零值点,得到一个长为rN点的有限长度?x(n/r), n?ir, 0?i?N序列y(n) , y(n)?? 其他n?0, 试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。解: X(k)?DFT?x?n??? Y(k)?DFT?y(n)?? ?

N?1n?0?n?0nkx(n)WN,0?k?N?1rN?1?nky(n)WrNN?1i?0?x(ir/i?0N?1irkr)WrN??x(i)WikN,0?k?rN?1?Y(k)?X((k))NRrN(k)?Y(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。

10.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。

证明 :??? ?s2?f??s?sF0?0fs?F0??02?其中?s是以角频率为变量 的 频谱的周期,?0是频谱抽样之间的频谱间隔。fs?s???NF0?0?F0?对于本题:?F0?fsNfs?8KHzN?512

8000?15.625Hz51211.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何殊数据处理措施,要求频率分辨力?10Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定(1)最小记录长度;(2)所允许处理的信号的最高频率;

(3)在一个记录中的最少点数。11解: (1) TP?而F?10Hz ?TP?sF10 ?最小纪录长度为 0.1s??? 11??103?10KHzT0.11 fs?2fh ?fh?fs?5KHz2 ?允许处理的信号的最高频率为5KHzT0.1 (3) N?P??103?1000,又因N必须为2的整数幂T0.1 ?一个纪录中的最少点数为:N?210?1024 (2) fs????

用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

3?4.2z?1?0.8z?2H(z)?2?0.6z?1?0.4z?2

?1?21.5?2.1z?1?0.4z?2?1.5?2.1z?0.4zH(z)?1?(?0.3z?1?0.2z?2) 1?0.3z?1?0.2z?2解：

H(z)? ∵

1??anz?nn?1m?0N?bznM?m?Y(z)X(z)

∴a1??0.3 ，a2?0.2

b0?1.5 ，b1?2.1 ，b2?0.4

4(z?1)(z2?1.4z?1)H(z)?(z?0.5)(z2?0.9z?0.8) 2.用级联型结构实现以下系统函数 试问一共能构成几种级联型网络。

1??1kz?1??2kz?2H(z)?A??1?21??z??zk1k2k解： 4(1?z?1)(1?1.4z?1?z?2)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

∴ A?4

?11?1, ?11?0.5 , ?21?0 , ?12??1.4 ,?21?0 , ?12??0.9 ,?22?1 ?22??0.8

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

3. 给出以下系统函数的并联型实现。

5.2?1.58z?1?1.41z?2?1.6z?3H(z)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得： 5.2?1.58z?1?1.41z?2?1.6z?3H(z)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

0.21?0.3z?1?4???11?0.5z1?0.9z?1?0.8z?2 ?G0?4

?11?0.5 , ? 21?0 ， ?12??0.9 ,?22??0.8

?01?0.2 , ? 11?0 ， ?02?1 , ?12?0.3

4．用横截型结构实现以下系统函数：

?1??1?H(z)??1?z?1??1?6z?1??1?2z?1??1?z?1??1?z?1??2??6?

解：

11H(z)?(1?z?1)(1?6z?1)(1?2z?1)(1?z?1)(1?z?1)26

11?1?1?2?2??(1?z?1?2z?1?z?)(1z?6z?z)(1?z)26

1537?(1?z?1?z?2)(?1z?1?z?26

2??)(z11

)8205?22058?1?z?1?z?z?3?z?4?z?5312123