等差数列综合应用

第六课时 等差数列综合应用

【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究Sn的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理

1．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)，首项:a1，公差:d，末项:an

a?am变形公式：an?am?(n?m)d；d?n；

n?m2．等差数列的前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222d（其中A、B是常数，当d?0时，Sn是二次项系数为，图象过原点的二次函数．）

2

3．等差数列的性质

（1）等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列；

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有

am?an?2ap；

（4）等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，?构成等差数列； ．．

（5）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和.

若当项数为偶数2n时，

S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd，若当项数为奇数2n?1时，

S奇nana??n S偶nan?1an?1?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S?S?aS?naSnn+1n+1?奇偶偶?偶??（其中an+1是项数为2n?1的等差数列的中间项）；

AaA（6）?an?、{bn}的前n和分别为An、Bn，且n?f(n)，则n?2n?1=f?2n?1?；

BnbnB2n?1（7）若Sm?nSn?m?m?p?，则Sm?n? ；

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（8）若Sm?Sp?m?p?,则Sm?p? . 4．求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。 法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和。即当

*?an?0 由?可得Sn达到最大值时的n值．（2）“首负”的递增等差数列中，a1?0，d?0，?an?1?0?an?0前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当a1?0，d?0， 由?可得Sn达到最小

a?0?n?1值时的n值．或求?an?中正负分界项。

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若Sp?Sq 则其对称轴为

n?p?q。 2?5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列． （3）数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。

（2）等差中项：数列?an?是等差数?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． （4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

二、合作探究

类型1 等差数列前n项和的性质

【例1】(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20＝________． (2)有一个共有100项的等差数列，其奇数项与偶数项之和分别为100和200，则公差d＝________．

【练习1】等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项的和．

【练习2】若Sn表示等差数列的前n项和，

【练习3】在等差数列?an?中，S10?100,S100?10,则S110? ．

【练习4】在等差数列?an?中，S10?S100,则S110? ．

【练习5】已知两个等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为An,Bn，且

SS41?，则8? ． S83S16An7n?45，则?Bnn?3第 2 页 共 4 页

使得

an为整数的正整数n的个数为 ． bna55S?，则9? ． a39S5【练习6】设Sn是等差数列?an?的前n项和，若类型2 等差数列前n项和的最值问题 【例2】数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始有an<0； (2)求此数列的前n项和的最大值．

【练习】等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项和最小？

类型3 裂项相消法求数列的和

111

【例3】等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋?＋.

S1S2Sn

1111

小结：1．若数列{an}是等差数列，公差为d(d≠0)，则和式Tn＝＋＋＋?＋

a1a2a2a3a3a4an－1an111111111

可用裂项法求和，具体过程如下：∵＝(－)，∴Tn＝[(－)＋(－)＋?＋

da1a2a2a3an－1·andan－1ann－1111111111

(－)]＝(－)＝；2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)＝(－)；

da1ana1anan－1ann?n＋k?knn＋k(2)

11

＝(n＋k－n)．

n＋k＋nk

【练习】本例中若把条件改为“a1＝1，d＝1”，其他都不变，试求解之．

类型4 等差数列的综合应用

【例4】在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n1(n≥2，n∈N*)．

＋

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an(1)若bn＝n，求证：{bn}是等差数列；

2

1

(2)在(1)的条件下，设Cn＝，求{Cn}的前n项和Tn.

bnbn＋1

三、课时小结与作业

1．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )

A．8 B．7 C．6 D．5

2．(2013·西安高二检测)已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16>0，S17<0，则当Sn最大时n的值为( )

A．8 B．9 C．10 D．16 3．(2013·郑州高二检测)已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是( )

A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和 8 11

4．已知数列{an}是通项an和公差都不为零的等差数列，设Sn＝aa＋aa＋?＋

12231

，则Sn等于( ) anan＋1A.

n－1n－1nn

B.aa C.aa D.a1an＋1a1an＋11n1n

5．已知一个等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前32

12项中奇数项的和S奇之比为27，求此数列的公差d. 6．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 7．设数列{an}满足a1＝0，且(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝

1－an＋1

，记Sn＝b1＋b2＋b3＋?＋bn. 证明：Sn<1. n

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11

－＝1.

1－an＋11－an