圆内接四边形与四点共圆-教案（有答案）

例2、已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么

分析：2 理由：

BD的值等于________。 CF

教师小结：在四点共圆的题目的已知条件中，通常没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把存在的圆找出来，然后再借助圆的性质进行相应的推导。

练习：（2011湖北武汉中考题改编）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，则四边形BCDG的面积（记作：S四边形 BCDG）与边CG的关系是__________。

分析：S

四边形

BCDG=

3CG2 4理由：∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

∴点B、C、D、G四点共圆，

∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°。 ∴∠BGC=∠DGC=60°。

过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N． 则△CBM≌△CDN（HL）。 ∴S

四边形

BCDG=S

四边形

CMGN，S

四边形

CMGN=2S△CMG。

∴S

四边形

31CG，CM=CG，

223311CG=CG2。 CMGN=2S△CMG=2××CG×2422∵∠CGM=60°，∴GM=

0例3 如图，锐角?ABC中，?A?60，且O、I、H分别为?ABC的外心、内心和垂心。求证：OI=IH。

分析：

连结AO、AI、OC、IC、HC。

练习：如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3。

求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°。

分析：

三、反馈训练 如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G。求证：∠CAF=∠CDE；

分析：