数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)65959

注: 也可以在Matlab命令窗口输入以下命令 >> A = [9/10,2/5;1/10,3/5]; format rat >> [P,D] = eig(A) Matlab执行后得

P =

2112/2177 -985/1393 528/2177 985/1393 D =

1 0 0 1/2

?xn?1?为了进一步计算??y??, 即P

?n?1?n

P

x1?1???, 在Matlab命令窗口输入以下命令 ?y1?>> syms n %定义符号变量

>> P*[1,0;0,1/2^n]*P^(-1)*[1/2;1/2] Matlab执行后得 ans =

[ 4/5-3/10/(2^n)] [ 1/5+3/10/(2^n)]

4?3?2?n?141?3?2?n?11【模型分析】当n 时, , . 这意味着, 随着n

5555增加, 熟练工和非熟练工所占百分比趋于稳定, 分别趋向于80%和20%.

Matlab实验题

某地区甲、乙两公司经营同一业务. 经验表明甲公司的客户每年有1/3继续留作甲的客户, 而2/3转作乙的客户; 乙的客户有3/5转作甲的客户, 而2/5继续留作乙的客户, 假定客户的总量不变.

(1)假定起始年甲、乙两公司拥有的客户份额分别为2/3和1/3, 求一年后客户市场分配情况;

(2)试确定起始年客户份额, 使甲、乙两公司在一年后市场份额不变.

参考文献

[1] 陈建龙, 周建华, 韩瑞珠, 周后型. 线性代数. 北京: 科学出版社, 2007.

[2] 俞南雁, 韩瑞珠, 周建华, 线性代数与空间解析几何. 北京: 科学出版社, 1999. [3] 张小向, 陈建龙, 线性代数学习指导. 北京: 科学出版社, 2008.

案例十六. 金融公司支付基金的流动

【模型准备】金融机构为保证现金充分支付, 设立一笔总额5400万的基金, 分开放置在位于A城和B城的两家公司, 基金在平时可以使用, 但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万. 经过相当长的一段时期的现金流动, 发现每过一周, 各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内, 而A城公司有10%支付基金流动到B城公司, B城公司则有12%支付基金流动到A城公司. 起初A城公司基金为2600万, B城公司基金为2800万. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势如何? 如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万, 那么是否需要在必要时调动基金?

【模型建立】设第k+1周末结算时, A城公司B城公司的支付基金数分别为ak+1, bk+1 (单位:万元), 则有a0=2600, b0=2800,

?ak?1?0.9ak?0.12bk. ??bk?1?0.1ak?0.88bk原问题转化为:

(1) 把ak+1, bk+1表示成k的函数, 并确定limak和limbk .

k???k???(2) 看limak和limbk 是否小于2200.

k???k????a?0.9ak?0.12bk【模型求解】由?k?1可得

b?0.1a?0.88bkk?k?1?ak?1??0.90.12??ak??0.90.12?2?ak?1??0.90.12?k?1?a0???=??= … = ????=??????.

?0.10.88??b0??bk?1??0.10.88??bk??0.10.88??bk?1?a2600?2600??ak?1??0.90.12?k+1?0?k+1?k+1?令A =??, 则?b?= A?b?= A??. 为了计算A??, 在

0.10.8828002800???????k?1??0?Matlab命令窗口输入以下命令 >> A = [0.9,0.12;0.1,0.88];

>> [P,D] = eig(A) Matlab执行后得 P =

0.7682 -0.7071 0.6402 0.7071 D =

1.0000 0 0 0.7800 这意味着P

1

?10?AP = D =??, 于是有 00.78??A = PDP

1

,

Ak+1 = PDk+1P

1

0??1= P?k?1?P00.78??1

,

2600??ak?1?0??1k+1?= A= P???00.78k?1?P??b2800?????k?1?在Matlab命令窗口输入以下命令

>> syms k %定义符号变量

>> P*[1,0;0,0.78^(k+1)]*P^(-1)*[2600;2800] Matlab执行后得

ans =

[ 32400/11-3800/11*(39/50)^(k+1)] [ 27000/11+3800/11*(39/50)^(k+1)]

1?2600???. 2800???324003800?39?k?1??g?????ak?1??1111?50??39这就是说, ?=, 其中< 1. ??k?1?b50?k?1??270003800?39??????11?11g?50???3240027000可见{ ak }单调递增, { bk }单调递减, 而且limak =,limbk =.

k???11k???113240027000而? 2945.5, ? 2454.5, 两者都大于2200, 所以不需要调动基金.

1111Matlab实验题

请同学们注意, 本题中的参数a是你的学号后三位, b = 2a. 例如, 你的学号后三位是216, 则取a = 216, b = 432.

金融机构为保证现金充分支付, 设立一笔基金, 分开放置在位于A城和B城的两家公司, 基金在平时可以使用, 但每周末结算时必须确保总额不变. 经过相当长的一段时期的现金流动, 发现每过一周, 各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内, 而A城公司有10%支付基金流动到B城公司, B城公司则有12%支付基金流动到A城公司. 起初A城公司基金为a万元, B城公司基金为b万元. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势如何?

案例十七. 选举问题

【模型准备】设有A, B, C三个政党参加每次的选举, 每次参加投票的选民人数保持不变. 通常情况下, 由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响, 原来投某党票的选民可能改投其他政党.

【模型假设】 (1) 参与投票的选民不变, 而且没有弃权票.

(2) 每次投A党票的选民, 下次投票时, 分别有r1, r2, r3比例的选民投A, B, C政党的票; 每次投B党票的选民, 下次投票时, 分别有s1, s2, s3比例的选民投A, B, C各政党的票; 每次投C党票的选民, 下次投票时, 分别有t1, t2, t3比例的选民投A, B, C各政党的票.

(3) xk, yk, zk表示第k次选举时分别投A, B, C各党的选民人数. 【模型建立】根据假设可得

?xk?1?r1xk?s1yk?t1zk??yk?1?r2xk?s2yk?t2zk ?z?rx?sy?tz?k?13k3k3k其中r1 + r2 + r3 = 1, s1 + s2 + s3 = 1, t1 + t2 + t3 = 1.

令

?r1?A =?r2?r?3s1s2s3t1??xk????t2?, Xk =?yk?,

?z?t3???k?上式可以表示为

Xk+1 = AXk .

如果给出问题的初始值, 就可以求出任一次选举时的选民投票情况.

Matlab实验题

设有A, B, C三个政党参加每次的选举. 每次投A党票的选民, 下次投票时, 分别有80%, 10%, 10%比例的选民投A, B, C政党的票; 每次投B党票的选民, 下次投票时, 分别有10%, 75%, 15%比例的选民投A, B, C各政党的票; 每次投C党票的选民, 下次投票时, 分别有5%, 10%, 85%比例的选民投A, B, C各政党的票. 第一次A, B, C三个政党获得的票数分别为1800万, 2000万, 1600万. 求出第10次选举时的选民投票情况.