数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)65959

(4) 计算A

1

.

【模型求解】(1) 由上述假设可见x1 = (1, 3, 20), x2 = (9, 15, 14).

?100?

(2) 对3阶单位矩阵E =?010?进行几次适当的初等变换(比如把某一行的

?001???

整数被加到另一行, 或交换某两行), 根据行列式的性质可知, 这样得到的矩阵A

?110?的行列式为1或1. 例如A =?211?, |A| = 1.

?322????110?(3) y1 = x1A = (1, 3, 20)?211?= (67, 44, 43),

?322????110?y2 = Ax2 = (9, 15, 14)?211?= (81, 52, 43).

?322????110100??10002?1?初等行变换??0101?21?可得 (4) 由(A, E) =?211010??????322001??001?1?11??????02?1?1?A =1?21?. ??1?11???这就是说, 接收方收到的密文是67, 44, 43, 81, 52, 43. 要还原成明文, 只要计算(67, 44, 43)A1和(81, 52, 43)A1, 再对照表9“翻译”成单词即可.

【模型分析】如果要发送一个英文句子, 在不记标点符号的情况下, 我们仍然可以把句子(含空格)从左到右每3个字符分为一组(最后不足3个字母时用空格补上).

【模型检验】(67, 44, 43) A

1

= (1, 3, 20), (81, 52, 43)A

1

= (9, 15, 14).

参考文献

杨威, 高淑萍, 线性代数机算与应用指导, 西安: 西安电子科技大学出版社, 2009. 页码: 98-102.

Matlab实验题

按照上面的加密方法, 设密文为: 112, 76, 57, 51, 38, 18, 84, 49, 49, 68, 41, 32, 83, 55, 37, 70, 45, 25, 问恢复为原来的信息是什么?

案例十四. 显示器色彩制式转换问题

彩色显示器使用红(R)、绿(G)和蓝(B)光的叠成效应生成颜色. 显示器屏幕的内表面由微粒象素组成, 每个微粒包括三个荧光点: 红、绿、蓝. 电子枪位于屏幕的后方, 向屏幕上每个点发射电子束. 计算机从图形应用程序或扫描仪发出数字信号到电子枪, 这些信号控制电子枪设置的电压强度. 不同 RGB 的强度组合将产生不同的颜色. 电子枪由电磁石帮助瞄准以确保快速精确地屏幕刷新.

图30 彩色显示器的工作原理

颜色模型规定一些属性或原色, 将颜色分解成不同属性的数字化组合. 这就色彩制式的转换问题.

【模型准备】观察者在屏幕上实际看到的色彩要受色彩制式和屏幕上荧光点数量的影响. 因此每家计算机屏幕制造商都必须在(R, G, B)数据和国际通行的CIE色彩标准之间进行转换, CIE标准使用三原色, 分别称为X, Y和Z. 针对短余辉荧光点的一类典型转换是

?0.610.290.150??R??X???????0.350.590.063???G?=?Y?. ?0.040.120.787??B??Z???????计算机程序把用CIE数据(X, Y, Z)表示的色彩信息流发送到屏幕. 求屏幕上的电子枪

将这些数据转换成(R, G, B)数据的方程.

?0.610.290.150??R??X???????【模型建立】令A =?0.350.590.063?, =?G?, =?Y?, 则A = . 现

?0.040.120.787??Z??B???????在要根据CIE数据(X, Y, Z)计算对应的(R, G, B)数据, 就是等式A = 中A和已知, 求. 如果A是可逆矩阵, 则由A = 可得 = A1.

【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令

>> A = [0.61,0.29,0.15;0.35,0.59,0.063;0.04,0.12,0.787]; >> if det(A)==0, 'A不可逆'

elseif 'A可逆, A的逆矩阵如下', B = inv(A), end Matlab执行后得

B =

2.2586 -1.0395 -0.3473 -1.3495 2.3441 0.0696

0.0910 -0.3046 1.2777

?2.2586?1.0395?0.3473???于是 =??1.34952.34410.0696?. 这就是说, 屏幕上的电子枪将

?0.0910?0.30461.2777???CIE数据(X, Y, Z)转换成(R, G, B)数据的方程为

?R??2.2586?1.0395?0.3473??X????????1.34952.34410.0696G=??Y?. ????B??0.0910?0.30461.2777??Z???????Matlab实验题

民用电视信号发送使用向量(Y, I, Q)来描述每种颜色. 如果屏幕是黑白的, 则只用到了Y(这比CIE数据能提供更好的单色图象). YIQ与“标准”RGB色彩之间的对应如下

?Y??0.2990.5870.114??R??I?=?0.596?0.275?0.321??G?

????????0.212?0.5280.311????Q????B??(屏幕制造商需要调整矩阵元素一适应其RGB屏幕.) 求将电视台发送的数据转换

成电视机屏幕所要求数据的方程.

参考文献

David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 147.

案例十五. 人员流动问题

【模型准备】某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后1将熟练工支援其他生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经62过培训及实践至年终考核有成为熟练工. 假设第一年一月份统计的熟练工和非熟

5练工各占一半, 求以后每年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比.

【模型建立】设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn, 记

?xn??x1??1/2?成向量??. 因为第一年统计的熟练工和非熟练工各占一半, 所以??=??. 为yy1/2??1???n?了求以后每年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比, 先求从第二年起每年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比与上一年度统计的百分比之间的关系, 即?xn?1??xn??xn?1?????求?与的关系式, 然后再根据这个关系式求?y??y??y??. ?n?1??n??n?1?【模型求解】根据已知条件可得:

12192xn+1 = (1)xn +(xn + yn) =xn +yn,

6561052113yn+1 = (1)(xn + yn) =xn +yn,

56105即

?xn?1??9/102/5??xn??????y??=???. 1/103/5y???n?1??n??9/102/5?令A =??, 则 1/103/5??xx?xn?1??xn?2?n?1?n?1??????y?= A?y?= A?y?= … = A?y?.

?1??n?1??n??n?1?|E A| =

9??10?1102?5= ( 3??5 1)(

12),

由此可得A的两个特征值1 = 1, 2 = 1/2.

解(E A)x = 0得对应于1 = 1的一个特征向量1 = (4, 1)T, 解(1 A)x = 0得对应于2 = 1/2的一个特征向量2 = (1, 1)T. 2E

?4?1??10?令P =?, 则P1AP = =?, A = PP1, An = (PP1)n = P???01/2??11?1

,

11?xn?1??x1??x1??4?1??10??1nn155??2??P??=???01???14??1? ?y??= A?y?= P11??2n??55??2??1??y1???n?1?4?3?2?n?11?3?2?n?1T= (, ).

55n

P