数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)65959

>> x = A\\b Matlab执行后得 x =

1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835

可见煤矿要生产1.9966?105元的煤, 电厂要生产1.8415?105元的电恰好满足需求.

?x??00.60.5??60000?【模型分析】令x =?y?, A =?0.30.10.1?, b =?100000?, 其中x称为总产值列向

?z??0.20.10??0???????量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则

?00.60.5??x??0.6y?0.5z?Ax =?0.30.10.1??y?=?0.3x?0.1y?0.1z?

?0.20.10??z??0.2x?0.1y???????根据需求, 应该有x Ax = b, 即(E A)x = b. 故x = (E A)1b.

Matlab实验题

某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.

(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.

(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?

案例四. 平板的稳态温度分布问题

在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.

图8 一块平板的温度分布图

【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T1, T2, T3, T4.

100 80 90 T1 T2 60 80 T3 60 T4 50 50

图9 一块平板的温度分布图

【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.

【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组

1?T??14(90?100?T2?T3)?1?T2?(80?60?T1?T4)?4 ?1?T3?(80?60?T1?T4)4?1?T?(50?50?T2?T3)4??4【模型求解】将上述线性方程组整理得

?190?4T1?T2?T3??T4?140??T1?4T2. ??T?4T?T?14034?1?T2?T3?4T4?100??在Matlab命令窗口输入以下命令

>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100]; >> x = A\\b; x’

Matlab执行后得 ans =

82.9167 70.8333 70.8333 60.4167

可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167.

参考文献

陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.

Matlab实验题

假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择Tl = 40, Tu = 10, Tr = 0, Td = 45.

Tu Tu Tu Tl T1 T6 T26 Tr Tl T2 T7 T27 Tr Tl T5 T10 T30 Tr Td Td Td 图10 一块平板的温度分布图

(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组. (2) 用Matlab软件求解该线性方程组.

(3) 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图.

案例五. CT图像的代数重建问题

X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.

图11双层螺旋CT 图12 CT图像

这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以33图像为例来说明.

表4 消耗与产出情况 33图像 水平方向上 各点的灰度值 的叠加值 x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1 x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1 x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5 竖直方向上x1 + x4 + x7 x2 + x5 + x8 x3 + x6 + x9 = 1.5 = 0.5 = 1.5 的叠加值 每个网格中的数字xi代表其灰度值, 范围在[0, 1]内. 0表示白色, 1表示黑色, 0.5表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)

?x1?x2?x3?1?x4?x5?x6?1? ?L???x3?x6?x9?1显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程

x1 = 1,

x2 + x4 = 0, x3 + x5 + x7 = 1, x6 + x8 = 0.5, x9 = 1,

和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.