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2003年-2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0. 若极限
x?alim?f(2x?a)存在，证明：
x?a(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点?，使
b2?a2?b?af(x)dx22?； f(?)2(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b?a)?
十 一、（本题满分10分）
2?bf(x)dx. ?a??a?220????1若矩阵A??82a?相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使PAP??.
??006??
十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
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2003年-2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .
n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围为____..
3??y?t?3t?1??dx?_____.. （3）?12xx?1?z?z2x?3z?2y确定, 则3??______. （4）设函数z?z(x,y)由方程z?e?x?y63(y?x)dx?2xdy?0y?（5）微分方程满足x?1的特解为_______.
5?210??????（6）设矩阵A??120? , 矩阵B满足ABA?2BA?E , 其中A为A的伴随矩阵, E是单位矩阵, 则
?001???（1）设f(x)?limB?______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选
项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把x?0时的无穷小量????0xcostdt, ???2x20tantdt, ???x0sint3dt排列起来, 使排在后面的是
前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
（A）?,?,?. （B）?,?,?.
（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则
（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. （9）limlnn(1?)(1?)L(1?)等于
n????
??
1n22n2nn2（A）（C）2?12ln2xdx. （B）2?lnxdx.
1222?1ln(1?x)dx. （D）?1ln2(1?x)dx
??
（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得
（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).
（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0).
2（11）微分方程y???y?x?1?sinx的特解形式可设为
??
2（A）y??ax?bx?c?x(Asinx?Bcosx).
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2003年-2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
2（B）y??x(ax?bx?c?Asinx?Bcosx). 2（C）y??ax?bx?c?Asinx.
2（D）y??ax?bx?c?Acosx
??
22（12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则
11?x2????f(xy)dxdy等于
D（A）
??1dx??1?x?0dy?0?22f(xy)dy. f(xy)dx.
（B）2（C）（D）
2y?y2?0d??2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr.
f(r2sin?cos?)rdr
?0?d????
（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?010??010?????（A）?100?. （B）?101?.
?101??001??????010??011?????（C）?100?. （D）?100?. ??011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有
（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. ??
?
三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
（15）（本题满分10分）
1求极限lim3x?0x
??2?cosx?x?????1?.
3??????（16）（本题满分10分）
2设函数f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x?4) , 若对任意的x都满足
f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.
(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.
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2003年-2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
（17）（本题满分11分） 设f(x)?
（18）（本题满分12分）
?xx??2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.
ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,
2其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).
S(t)S(t)(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)计算极限lim.
t???F(t)V(t)
（19）（本题满分12分）设e?a?b?e, 证明lnb?lna?
（20）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?10).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.
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