2020年中考数学基础题型提分讲练专题19以三角形为背景的证明与计算含解析

中考 2020

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

【答案】见解析 【解析】

解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN．

AB?AC∵在△BAM和△CAN中，{?BAM??CAN?，

AM?AN∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：

∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN．

AB?AC∵在△BAM和△CAN中，{?BAM??CAN?，

AM?AN∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下：

∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN． ∴△ABC∽△AMN．∴

ABAC?． AMAN又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN. ∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN．

14．（2019·辽宁中考真题）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°． (1)如图1，若延长DA到点E，使AE=BD，连接CD，CE． ①求证：CD=CE，CD⊥CE；

中考 2020

②求证：AD+BD=2CD；

(2)若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)AD-BD=2CD. 【解析】

(1)证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°， ∵∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠DAC+∠DBC=180°， ∵∠EAC+∠DAC=180°， ∴∠DBC=∠EAC， ∵BD=AE，BC=AC， ∴△BCD≌△ACE(SAS)， ∴CD=CE，∠BCD=∠ACE， ∵∠BCD+∠DCA=90°， ∴∠ACE+∠DCA=90°， ∴∠DCE=90°， ∴CD⊥CE；

②∵CD=CE，CD⊥CE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴DE=2CD， ∵DE=AD+AE，AE=BD， ∴DE=AD+BD， ∴AD+BD=2CD； (2)解：AD-BD=2CD；

中考 2020

理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠ADB=90°，

∴∠CBD=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD， ∵∠CAE=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD， ∴∠CBD=∠CAE，∵BD=AE，BC=AC， ∴△CBD≌△CAE(SAS)， ∴CD=CE，∠BCD=∠ACE， ∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°， ∴∠BCD+∠BCE=90°， 即∠DCE=90°，

∴DE=CD2?CE2=2CD2=2CD， ∵DE=AD-AE=AD-BD， ∴AD-BD=2CD．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．