2018版考前三个月高考数学理科（全国通用）总复习文档：压轴小题突破练3 Word版含解析

7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1上取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球，设AP＝x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x)，则函数f(x)的图象最有可能的是( )

答案 A

解析 球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：

1

①当x＝1时；②当x＝时；③当x＝2时.

2

1

①当x＝1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3××2π×1

43π

＝，且为函数f(x)的最大值； 2

11

②当x＝时，以A为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交22线弧长为(1)中的一半；

1

③当x＝2时，以A为球心，2为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×

6×2π×2＝2π＜

3π， 2

对照选项可得A正确.

8.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为( )

5

A.

3234353 B. C. D. 3333

答案 C

解析 由条件知直径SC所对的圆周角∠SBC＝∠SAC＝90°，由已知∠ASC＝∠BSC＝45°， ∴△SBC与△SAC是全等的等腰三角形， 设球的球心为点O，

∴BO⊥SC，AO⊥SC，即SC⊥平面AOB，由条件OA＝OB＝2，则△OAB为等边三角形， 1112?×4＝43. ×2×sin 60°∴VS－ABC＝S△OAB·SC＝??33?23

9.(2017届辽宁省庄河市高级中学月考)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球O的体积为32π

，其中BB1＝2，则三棱锥O－ABC的体积的最大值为( ) 3

A.1 B.3 C.2 D.4 答案 A

432

解析 由题意设外接球的半径为R，则由题设可得πR3＝π，由此可得R＝2，

33记长方体的三条棱长分别为x，y，2， 则2R＝x2＋y2＋4，由此可得x2＋y2＝12， 1

三棱锥O－ABC的体积V＝xy×1

6

22

11x＋y＝xy≤×＝1，当且仅当x＝y＝6时“＝”成立.故选A. 662

10.(2017·浙江温州中学模拟)已知四边形ABCD，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝2.现将△ABDπ5π?沿BD折起，当二面角A－BD－C处于??6，6?过程中，直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是( ) 522?A.?－ ，8??8C.?0，

B.?

252?

?8，8?

?

2? 8?52?D.?0，

8??

答案 D

解析 如图所示，取BD的中点E，连接AE，CE，

∴∠AEC即为二面角A－BD－C的平面角，

6

π5π?而AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos∠AEC＝4－23cos∠AEC，∠AEC∈??6，6?， ∴AC∈[1，7]，

→→→→→→→∴AB·CD＝22cos〈AB，CD〉＝AB·(BD－BC) AB2＋BC2－AC2AC2?51?＝－2＋AB·BC·＝1－∈?－2，2?，

2AB·BC2设异面直线AB，CD所成的角为θ， ∴0≤cos θ≤

1552·＝，故选D.

8222

11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球的表面积为______________. 答案

13π

3

解析 根据题意可知，三棱锥B－ACD的三条侧棱BD⊥AD，DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球.正三棱柱中，底面边长为1，高为3.

由题意可得三棱柱上下底面中心连线的中点到三棱柱顶点的距离相等，说明该中点就是外接球的球心，

∴正三棱柱AD′C′－BDC的外接球的球心为O，外接球的半径为r.球心到底面的距离为31313π233，则球的半径满足r2＝?×?2＋??2＝，∴外接球的表面积为4πr2＝. 23?32??2?12

12.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′分别交于M，N两点，设BM＝x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：

①平面MENF⊥平面BDD′B′； ②直线AC∥平面MENF始终成立；

7

③四边形MENF周长L＝f(x)，x∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′－MENF的体积V＝h(x)为常数. 以上结论正确的是______________. 答案 ①②④

解析 ①因为EF⊥BB′，EF⊥BD，BB′∩BD＝B，所以EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′成立；

②因为AC∥EF，所以直线AC∥平面MENF始终成立； ③因为MF＝f(x)＝4

?1－x?2＋1， ?2?

?x－1?2＋1，所以f(x)在[0，1]上不是单调函数； ?2?11111

④VC′－MENF＝VF－MC′E＋VF－C′NE＝·＋·＝，故h(x)为常数.

34346

13.在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，设M是底面△ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB，三棱锥M－11a

，x，y?，且＋≥8，则正实数a的最小值为PBC，三棱锥M－PCA的体积，若f(M)＝??2?xy____________. 答案 1

111

解析 依题意，＋x＋y＝××3×2×1＝1，

2321

即x＋y＝，

2

1a?yax1a

＋(x＋y)＝2?1＋a＋＋?≥2(1＋a＋2a)＝2(a＋1)2， ∴＋＝2?xy??xy??xy由题设2(a＋1)2≥8，解得a≥1， 故正实数a的最小值为1.

14.(2017·江西南阳一中月考)如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为__________.

答案

2 6

解析 ∵AD⊥平面ABC， ∴DA⊥AB，AD⊥BC，

8

∵AE⊥DB，又AD＝AB＝2， ∴DE＝2.

又∵BC⊥AC，AC∩AD＝A， ∴BC⊥平面ACD， ∴平面BCD⊥平面ACD，

∵AF⊥DC，平面BCD∩平面ACD＝CD，AF?平面ACD， ∴AF⊥平面BCD， ∴AF⊥BD，又AE⊥BD， ∴BD⊥平面AEF，

由AF⊥EF，得AF2＋EF2＝AE2＝2≥2AF·EF，即AF·EF≤1，∴S1

△AEF≤2，当且仅当AF＝EF＝1时“＝”成立，

∴三棱锥D－AEF体积的最大值为112

3×2×2＝6

.

9