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第15讲 高频考点分析之最值探讨-备战2014高考数学专题讲座

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三、应用导数求最值: 如果f(x)在闭区间[a ,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)

在[a ,b]上求最大值与最小值的步骤:先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 求可导函数极值的步骤:首先:求导数f′(x);再求导数f′(x)=0的根;最后:检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取极小值。

应用导数求最值也是求最值的基本方法。

【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有,转载必究】

典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1. (2013年福建省文14分)已知函数f?x??x?1?a (a∈R,e为自然对数的底数). ex(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值;

(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.

综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值。

例2. (2013年广东省理14分)设函数f?x???x?1?ex?kx2(k∈R)。 (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;

?1?(2)当k??, 1?时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M。

?2?【答案】解:(1)当k=1时,f?x???x?1?ex?x2,f'?x??ex??x?1?ex?2x, 令f'?x??ex??x?1?ex?2x=0,得xex?2=0, 解得x=0或x=ln2。 列表如下: (-∞,0) 0 (0,ln2) ??ln2 (ln2,+∞)

f'?x? f?x? + ↗ 0 极大值 - ↘ 0 极小值 + ↗ ∴函数f(x)在(-∞,0)和(ln2,+∞)上单调增加,在(0,ln2)上单调减小。

?1?令??k?=ek?3k,则?'?k?=ek?3

2???1?∴??k?在?, 1?上递减。

?2?3??1??又∵??????1?=?e???e?1?<0,

2??2???1??1? 1?使得??x0?=0,且当k??, x0?时, ??k?>0,当∴存在x0??,?2??2?k??x0,1?

例3. (2013年广东省文14分)设函数f?x??x3?kx2?x(k∈R)。 (1) 当k=1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M。

∴函数f(x)在[k,-k]上单调增加。

∴函数f(x)在[k,-k]上的最小值m=f?k?=k,最大值M=f??k?=?2k3?k。 ②当k0,

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三、应用导数求最值: 如果f(x)在闭区间[a ,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a ,b]上求最大值与最小值的步骤:先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 求可导函数极值的步骤:首先:求导数f′(x);再求导数f′(x)=0的根;最后:检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取极小值。 应用导数求最值也是求最值的基本方法。【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有,转载必究】 典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】 例1. (2013年福建省文14分)已知函数f?x??x?1?a (a∈R,e为自然对数的底数). ex(1)若

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