2019 - 2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦学案新人教B版必修4

出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．

1.已知cos(α－β)＝－

1212?π?，cos(α＋β)＝，且α－β∈?，π?，1313?2?

α＋β∈?

?3π，2π?，求角β的值．

?

?2?

12?π?解：由α－β∈?，π?，且cos(α－β)＝－，

13?2?5

得sin(α－β)＝，

13由α＋β∈??3π，2π?，

?

?2?

12

且cos(α＋β)＝，

135

得sin(α＋β)＝－.

13

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 12?12??5?5

＝×?－?＋?－?×＝－1. 13?13??13?13

?3??π?又因为α＋β∈?π，2π?，α－β∈?，π?， ?2??2?

所以2β∈?

?π，3π?. ?2??2

π

所以2β＝π，则β＝. 2

34

2．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，0＜α＜β＜π，求α－β的值．

55

?3?解：因为(sin α＋sin β)＝??， ?5?

2

2

242

?(cos α＋cos β)＝??5?， ??以上两式展开两边分别相加得 2＋2cos(α－β)＝1， 1

所以cos(α－β)＝－.

2因为0＜α＜β＜π， 所以－π＜α－β＜0， 2π

所以α－β＝－.

3

1．两角和与差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他公式都能由此推出，该公式应牢记．

2．对公式Cα±β的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α、β视为“代号”，将公式记作cos(△±□)＝cos△cos□?sin△sin□.

3．公式Cα－β，Cα＋β要做到三用：正用拆角、逆用合角、变形用整体法．

1．注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式． 2．注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其1322

中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sinα＋cosα，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝

22123

sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为

222三角函数．

1．下列式子中，一定成立的有( ) ①cos(α－β)＝cos α－cos β； π

②cos(＋α)＝sin α；

2

③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A．0个 C．2个

B．1个 D．3个

解析：选A.①仅有特殊角使之成立，一般情况下不成立；

π

②cos(＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.

22．cos 26°cos 56°＋sin 26°sin 56°的值是( ) A．0 C．3 2

1B． 2D．－

3 2

3. 2

解析：选C.原式＝cos(26°－56°)＝cos(－30°)＝

3．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝________． 解析：原式＝cos 43°cos 77°＋sin 43°cos(90°＋77°) ＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos(43°＋77°) ＝cos 120° 1 ＝－.

21

答案：－

2

4．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝________． 解析：原式＝cos[(α＋β)－α]＝cos β. 答案：cos β

, [学生用书P125(单独成册)])

[A 基础达标]

1．cos 80°cos 35°＋sin 80°cos 55°的值是( ) A．2

2

B．－

2 2

1C． 21D．－ 2

2. 2

解析：选A.原式＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝2．cos(32°＋x)cos(58°－x)＋sin(x＋32°)sin(x－58°)的值为( ) A．0 C．－1

B．1 1D． 2

解析：选A.cos(32°＋x)cos(58°－x)＋sin(x＋32°)sin(x－58°)＝cos(32°＋

x)cos(58°－x)－sin(x＋32°)sin(58°－x)＝cos(32°＋x＋58°－x)＝cos 90°＝0.

13

3.sin 15°－cos 15°的值是( ) 22

A．C．2 26 2

B．－D．－

2 26 2

解析：选B.原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15° ＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－2. 2

4．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B) 的值是( ) 3A． 524C． 25

4B． 57D． 25

解析：选C.因为△ABC为直角三角形，AC＝3，BC＝4， 所以AB＝5，

BC4AC3

所以sin A＝＝，cos A＝＝，

AB5AB5

34

sin B＝，cos B＝，

55

所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B 344324

＝×＋×＝. 5555255．满足cos αcos β＝

3

－sin αsin β的一组α，β的值是( ) 2

13π3π

B．α＝，β＝ 124ππ

D．α＝，β＝

46

3

， 2

13π5π

A．α＝，β＝

124ππ

C．α＝，β＝

26

解析：选A.原式可变为：cos αcos β＋sin αsin β＝即cos(α－β)＝

3

，依次代入验证A适合． 2

6．cos 79°cos 19°＋sin 79°sin 19°＝________． 1

解析：原式＝cos(79°－19°)＝cos 60°＝.

21答案： 2

123ππ

7．如果cos θ＝－，θ∈(π，)，那么cos(θ＋)的值等于______．

1324123π

解析：因为cos θ＝－，θ∈(π，)，

132