2021高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合教学案 理 北师大版

类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.

考点2 集合的基本关系

判断两集合关系的方法

(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．

(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．

(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A＝{x|y＝1－x，x∈R}，B＝{x|x＝m，m∈A}，则( )

A．AB C．A?B

2

2

2

B．BA D．B＝A

(2)已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．

(1)B (2)D (3)(－∞，3] [(1)由题意知A＝{x|y＝1－x，x∈R}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}．

所以B＝{x|x＝m，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故选B.

(2)因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A?C?B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．

(3)因为B?A，

所以①若B＝?，则2m－1＜m＋1，此时m＜2. 2m－1≥m＋1，??

②若B≠?，则?m＋1≥－2，

??2m－1≤5.

2

2

解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．] [母题探究]

1．(变问法)本例(3)中，若BA，求m的取值范围． [解] 因为BA，

①若B＝?，成立，此时m＜2.

2m－1≥m＋1，??

②若B≠?，则?m＋1≥－2，

??2m－1≤5，

且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.

综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．

2．(变问法)本例(3)中，若A?B，求m的取值范围．

??m＋1≤－2，

[解] 若A?B，则?

?2m－1≥5，?

??m≤－3，

即?

?m≥3.?

所以m的取值范围为?.

3．(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围． [解] 因为B?A，

所以①当B＝?时，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意．

??m＋1≤2m－1，

②当B≠?时，?

?m＋1＞5???m≥2，

解得?

?m＞4?

??m＋1≤2m－1，

或?

?2m－1＜－2，?

m≥2，??

或?1

m＜－，?2?

即m＞4.

综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．

(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间

的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论．

1.设M为非空的数集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样

的集合M共有( )

A．6个 C．4个

B．5个 D．3个

A [由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．]

2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，则实数m的取值范围为________．

[－2,2) [①若B＝?，则Δ＝m－4＜0， 解得－2＜m＜2，符合题意； ②若1∈B，则1＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则2＋2m＋1＝0，

?1?5

??，不合题意． 2，解得m＝－，此时B＝

2?2?

22

22

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．]

考点3 集合的基本运算

集合运算三步骤

确定确定集合中的元素及其满足的条件，如函数

元素的定义域、值域，一元二次不等式的解集等化简根据元素满足的条件解方程或不等式，得出

集合元素满足的最简条件，将集合清晰地表示出来运算利用交集或并集的定义求解，必要时可应用

求解数轴或Venn图来直观解决

集合的运算

(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x－x－6＜0}，则

2

M∩N＝( )

A．{x|－4＜x＜3} C．{x|－2＜x＜2}

B．{x|－4＜x＜－2} D．{x|2＜x＜3}

(2)(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝( )

A．{－1} C．{－1,2,3}

xB．{0,1} D．{－1,0,1,3}

2

(3)设集合A＝{y|y＝2，x∈R}，B＝{x|x－1＜0}，则A∪B等于( ) A．(－1,1) C．(－1，＋∞)

2

B．(0,1) D．(0，＋∞)

(1)C (2)A (3)C [(1)∵N＝{x|x－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}， ∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.

(2)∵?UA＝{－1,3}，∴(?UA)∩B＝{－1}，故选A. (3)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}， ∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.]

[逆向问题] 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A＝( )

A．{1,3} C．{3,5,9}

B．{3,7,9} D．{3,9}

D [法一：(直接法)因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈

A，则5?B(否则5∈A∩B)，从而5∈?UB，则(?UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5?A.同

理，1?A,7?A，故A＝{3,9}．

法二：(Venn图)如图所示．

]

集合运算的常用方法

(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．

(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

利用集合的运算求参数

(1)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )

A．0 C．2

2

B．1 D．4

(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )

A．a＜1 C．a＞2

B．a≤1 D．a≥2

2

(1)D (2)D [(1)根据并集的概念，可知{a，a}＝{4,16}，故只能是a＝4. (2)B＝{x|x－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}， 又A∩B＝B，故B?A.

又A＝{x|x＜a}，结合数轴，可知a≥2.]

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．如T(1)．

(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到，如T(2)． 提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．

[教师备选例题]

1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )

A．77 C．45

B．49 D．30

2

2

2

C [如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为