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第二节 同角三角函数关系式与诱导公式
同角三角函数的关系式和诱导公式
π
(1)能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余
2弦、正切的诱导公式，会用三角函数线解决相关问题．
sin x
(2)理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝cos xtan x，熟练运用公式化简、求值与证明简单的三角恒等式．
知识点一 同角三角函数基本关系式 1．平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1(α∈R)． sin απ
2．商数关系：tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z)．
cos α2
易误提醒 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．
必备方法 三角函数求值与化简的常用方法
sin α
1．弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
cos α
2．和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． π
3．巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝?.
4
[自测练习]
π1
－，0?，则tan α等于( ) 1．若cos α＝，α∈??2?3A．－
2
4
B.2 4
C．－22 D．22
122sin α1－＝－，所以tan α＝＝－22.
93cos α
解析：由已知得sin α＝－1－cos2α＝－答案：C
sin α－cos α
2．若tan α＝2，则的值为( )
sin α＋cos α
1
1A．－
31C. 3
5B．－
35D. 3
sin α－cos αtan α－12－11解析：＝＝＝.
sin α＋cos αtan α＋12＋13答案：C
知识点二 诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀
kπ
必记结论 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，
2“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
[自测练习]
3．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A．－
3
2
B.3 2
一 2kπ＋α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α 二 π＋α －sin_α －cos_α tan_α 三 －α －sin_α cos_α －tan_α 四 π－α sin_α －cos_α －tan_α 五 π－α 2cos_α sin_α 六 π＋α 2cos_α －sin_α 函数名不变符号看象限 函数名改变，符号看象限 1
C.3－
21
D.3＋ 2
解析：原式＝sin 240°＋tan(180°＋60°) ＝－sin 60°＋tan 60°＝答案：B
π?π3
＋θ＝－，则tan(π－θ)的值为( ) 4．已知<θ<π，sin??2?253
A. 43C．－
4
4B. 34D．－
3
3. 2
2
π?33π4
＋θ＝－，∴cos θ＝－，又∵<θ<π，∴sin θ＝，∴tan(π－θ)＝－tan θ解析：∵sin??2?55254
＝. 3
答案：B
考点一 三角函数的诱导公式|
π?3π
＋α＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)＝( ) 1．(2015·肇庆模拟)已知sin??2?5?2?3
A. 54C. 5
3B．－
54D．－
5
π33＋α?＝，得cos α＝， 解析：由sin??2?55π40，?，∴sin α＝， 又∵α∈??2?54
sin(π＋α)＝－sin α＝－. 5答案：D
25
－π?的值为( ) 2．已知f(α)＝，则f??3?cos?－π－α?tan?π－α?1
A. 2C.3 2
－sin α·?－cos α?sin α
＝ －cos α·?－tan α?tan α
1
B．－
2D．－
3 2
π3π＋α?sin?－α?cos??2??2?
解析：f(α)＝
cos α
＝sin α×＝cos α.
sin α
25π25π25π1－?＝cos?－?＝cosπ＝cos＝. ∴f??3??3?332答案：A
1－2sin 40°cos 40°3．化简：＝________.
cos 40°－1－sin250°
3
sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°|sin 40°－cos 40°|cos 40°－sin 40°
解析：原式＝＝＝
cos 40°－cos 50°cos 40°－sin 40°cos 40°－cos250°＝1.
答案：1
应用诱导公式时应注意的两个问题
(1)由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
(2)将任意角的三角函数化为锐角三角函数的流程： 任意角的任意正角的0°到360°角锐角的三
→→→
三角函数三角函数的三角函数角函数
考点二 同角三角函数的基本关系|
同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点、难度不大、归纳起来常见的命题探究角度有：
1．知弦求弦、切问题． 2．知切求弦问题．
3．sin α±cos α，sin α，cos α的关系应用问题． 4．已知tan α，求f(sin α，cos α)值问题． 探究一 知弦求弦、切问题
π?1．已知cos α＝k，k∈R，α∈??2，π?，则sin(π＋α)＝( ) A．－1－k2 C．±1－k2
B.1－k2 D．－k
π?2解析：由cos α＝k，α∈??2，π?得sin α＝1－k， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k2，故选A. 答案：A
π?3
，π，sin(π－α)＝，则tan α＝( ) 2．(2016·厦门质检)若α∈??2?54
A．－
33C．－
4
π?3，π，sin α＝， 解析：∵α∈??2?5
4
B. 33D. 4
4
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