广东省佛山市南海区高三题例研究试题(数学理)

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1（Ⅱ）证明：∵a?，∴an37分 所以

?1????， ………………………………………………………?3?nbn?1?1?1????3?n?1?1?1????3?n?13n3n?13n?1?13n?1?1?111?n?n?1?n?n?1?1?n?1?n?13?13?13?13?13?13?1

1??1?2??n?n?1?， ………………………………………………………

?3?13?1?……9分 由

11111111，，得， ………………………?????nn?1nnn?1n?1nn?13?133?133?13?13311分 所

以

3?1??1?1bn?2??n?n?1??2??n?n?1?， ……………………………………12

?3＋13?1??33?分

从而Tn?b1?b2???11????11???bn??2???2????2??2?3??+??33????33????11????2?3????33???11??+?2??n?n?1?? ??33????11?2n????2??33即

1?11???1?1??n?n?1???2n???n?1??2n?．

3?33???33?1 …………………………………………………………………………14Tn?2n?．3分

20．【解析】（I）设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．

由题意，得MO1?R?1，MO2?3?R， ∴MO1?MO2?4． ………………………3分

由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a?2，c?1，

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∴b2?a2?c2?4?1?3．

∴动圆圆心M的轨迹L的方程为

x2y2??1． …………………………………………5分 43（Ⅱ）如图，设?ABO2内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形?ABO2的面积S△ABO2?当S△ABO211(AB?AO2?BO2)r??(AO1?AO2)?(BO1?BO2)??r?2ar?4r 22?最大时，r也最大，?ABO2内切圆的面积也最

大 ………………………………7分 设A(x1,y1)、B(x2,y2)(y1?0,y2?0), 则S△ABO2?11O1O2?y1?O1O2?y2?y1?y2 ………………8分 22?x?my?1?22由?x2y2，得(3m?4)y?6my?9?0，

?1??3?4解

得

?3m?m2?y1?3m2?46，

1?3m?6m2?1y2? ………………………………………10分 23m?4∴S△ABO212m2?12?，令t?m?1，则t?1，且m2?t2?1， 23m?41112t12t12?，令，则 f(t)?3t?f(t)?3???2221tt3(t?1)?43t?13t?t有S△ABO2?当t?1时，f?(t)?0，f(t)在[1,??)上单调递增，有f(t)?f(1)?4，S△ABO2?即当t?1， m?0时，4r有最大值3，得rmax?12 ?3，

439，这时所求内切圆的面积为?， 416M

的面积最大值为

∴存在直线l:x?1，?ABO2的内切圆

9?. ………………………14分 16

21．【解析】（1）设点(x0,y0)为直线y?2x?2与曲线y?g(x)的切点，

则有2lnx0?bx0?2x0?2． （*）

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?g?(x)?22?b，??b?2． （**）

x0x由（*）、（**）两式，解得b?0，g(x)?2lnx． ……………………………2分

由f(x)?g(x)整理，得

a?x?2lnx， x?x?1，?要使不等式f(x)?g(x)恒成立，必须a?x2?2xlnx恒成立．

设h(x)?x?2xlnx，h?(x)?2x?2(lnx?x?)?2x?2lnx?2，

21x?h??(x)?2?2，?当x?1时，h??(x)?0，则h?(x)是增函数， x?h?(x)?h?(1)?0，h(x)是增函数，h(x)?h(1)?1，a?1． …………………

5分

因此，实数a的取值范围是0?a?1． ………………………………………6分

（2）当a?1时，f(x)?x?1， x?f?(x)?1?f(3)?8． 31?0，?f(x)在[e,3]上是增函数，f(x)在[e,3]上的最大值为2x要对[e,3]内的任意k个实数x1,x2,?,xk都有f(x1)?f(x2)???f(xk?1)?16g(xk)成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

?当x1?x2???xk?1?3时不等式左边取得最大值，xk?e时不等式右边取得最

小值．

?(k?1)?8?16?2，解得k?13． 3因此， ………………………………………………………k的最大值为13．10分

（3）证明（法一）：当a?1时，根据（1）的推导有，x?(1,??)时，f(x)?g(x)，

即

lnx?11(x?)． ………………………………………………………………11分 2x------珍贵文档!值得收藏！------

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令x?化

2k?12k?112k?12k?1，得ln?(?)， 2k?12k?122k?12k?1简

得

l2k?1)?l2k?1)?n4k， n …………………………………………n(13分 24k?1n(ln(2n?1)??[ln(2i?1)?ln(2i?1)]??i?1i?14i． ………………………24i?1……14分

（法二）数学归纳法：当n?1时，左边=

4，右边=ln3， 31?2lnx． x根据（1）的推导有，x?(1,??)时，f(x)?g(x)，即x?令x?3，得3?14?2ln3，即?ln3． 33因此，n?1时不等式成立． ……………………………………………………11分

（另解：?e?556254，?e4?()4?） ?27，?4?ln27，即?ln3．221634i?ln(2k?1)， ?2i?14i?1k假设当n?k时不等式成立，即

k?1k4i4i4(k?1)4(k?1)??2??ln(2k?1)?则当n?k?1时,?2， 224i?14i?14(k?1)?14(k?1)?1i?1i?1要证n?k?1时命题成立，即证ln(2k?1)?4(k?1)?ln(2k?3)，

4(k?1)2?1即证

4(k?1)2k?3?ln． 22k?14(k?1)?1在不等式x?12k?3，得 ?2lnx中，令x?x2k?1ln2k?312k?32k?14(k?1)?(?)?．

2k?122k?12k?34(k?1)2?1时

命

题

也

成

?n?k?1立． ………………………………………………………13分

根据数学归纳法，可得不等式

4i*?ln(2n?1)n?N对一切成?2i?14i?1n------珍贵文档!值得收藏！------