2013高考难点突破与易错点点睛系列 专题07 不等式

www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ 1.一元二次不等式是最常见的不等式，其解集取决于它作为方程的两个根，因此首先要判断方程是否有根，也就是要判断其判别式的正负．在解不等式前还应把它化成二次项系数为正值的情况，在这种情况下写出的解集不易出错．

2．与一元二次不等式有关的恒成立问题一般要与二次函数的图象联系起来进行求解．通常需要考虑的是：二次函数的开口方向，判别式与0的大小关系等．有区间限制的恒成立问题还需要考虑区间端点的取值与对称轴的取值等．

3．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．即xx2?(x－x1)(x－x2)>0(x1

4．解分式不等式首先要把不等式的一端通过移项等变换化成一端为0的情况，再转换fx为整式不等式来解．需要注意含有等号的分式不等式的变换：≥0?f(x)·g(x)>0或f(x)＝0；

gxfx≤0?f(x)·g(x)<0或f(x)＝0. gx5．简单的一元高次不等式采用标根法(或叫标区间法、穿根法)求解，其一般步骤为： (1)将f(x)的最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式的积；

(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．

6．当高次不等式在进行因式分解出现有些因式是幂指数形式即m(x－x1)a1(x－x2)a2…(x－xn)an>0(或<0)时，我们在标根时需要看幂值的奇、偶．当幂值为奇数时，我们仍然按1次幂进行穿轴，当幂值是偶数时，不穿轴，故得口诀“奇穿偶不穿”．

7．线性规划实质上是数形结合思想的一种具体体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来．它还是一种较为简捷的求最值的方法，具体步骤如下：

(1)根据题意设出变量，建立目标函数； (2)列出约束条件；

(3)借助图形确定函数最值的取值位置，并求出最值； (4)从实际问题的角度审查最值，进而作答．

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www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ 8．几个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． a＋b(3)≥ab(a，b∈R＋)．

2(4)ab≤?(5)

a＋b?2

?2?(a，b∈R＋)．

a2＋b2a＋b2ab

≥≥ab≥(a，b∈R＋)． 22a＋b

9．利用算术平均数与几何平均数定理求函数的最大值、最小值

(1)已知x，y∈R＋，如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2p； 1

(2)已知x，y∈R＋，如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值s2.

4b

10．函数y＝ax＋(a>0，b>0)的性质

xb

(1)y＝ax＋(a，b∈R＋)在(－∞，－

x和(0,

b

(2)求函数y＝ax＋(a，b∈R＋，x∈(0，c])的最小值时应注意：①若c≥

x当x＝

b时，y有最小值2ab；②若c< a

b，则当且仅a

b]上为减函数． a

b]和[ a

b，＋∞)上为增函数，在[－ a

b，0)a

bb，则当且仅当x＝c时，y有最小值ac＋. ac

11．不等式的证明基础 (1)不等式定义：a－b>0?a>b， a－b＝0?a＝b，a－b<0?a

①a2≥0，(a－b)2≥0，|a|≥0.

a＋b

②均值不等式：≥ab(a，b∈R＋)．

2

1

③几个常用不等式：a＋≥2(a>0，当a＝1时等号成立).2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当

aa＝b时等号成立)．|a＋b|≤|a|＋|b|(ab≥0时等号成立)．|a－b|≤|a|＋|b|(ab≤0时等号成立)．

12．不等式的应用主要涉及以下三个方面：

(1)建立函数关系，利用均值不等式求最值．根据题设条件建立函数关系式，并创建均

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www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ 值不等式的应用背景．在应用均值不等式求最值时要注意的是“一正、二定、三等”，即求和(积)的最小值(最大值)时，必须使其积(和)为定值，并且要注意各项是否为正，等号成立的条件是否满足(即各项是否能相等)．

【难点突破】

难点1 不等式的概念与性质

1．下列命题正确的是 ( )

baA.??2,当且仅当ab均为正数abB.a?b?c?33abc当且仅当abc均为正数C.logab?logbc?logca?3,当且仅当abc?(1,??)1D.|a?|?2当且仅当a?0时成立a

2．已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是 ( )

a2?b2?b2a2?b2C.b?a?2A.a?a2?b22a2?b2D.b??a2 B.a?b?a2?b2.2【解析】利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.

【答案】B

?a?2sin(15.?45.)?2sin60.,b?2sin(15.?46.)?2sin61.,?1?a?b.又a2?b2?ab?b,故选B.2

难点2不等式的解法

1．关于x的不等式x|x-a|≥2a2(a∈(-∞,0)的解集为 ( ) A.[-a,+ ∞] B.[a,+ ∞] C.[2a,a] ∪[-a+∞] D.(- ∞,a)

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www.tesoon.com 天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！ xx3f(x)?sinx,g(x)??9()2?9()?,??4则使g(x) ≥f(x)的x的取值范围是 3．函数

A.?0,????4??C.?,??33???3?B.?,???22???5?D.?,???66?

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