2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 1-1 椭圆及其标准方程一 含答案 精品

1.1 椭圆及其标准方程(一)

学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.

知识点一 椭圆的定义

思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？

思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？

梳理 (1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于______(大于|F1F2|)的点的集合叫作______.这两个定点叫作椭圆的______，两焦点间的距离叫作椭圆的______. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}.

(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

条件 2a>|F1F2| 2a＝|F1F2| 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段F1F2

2a<|F1F2|

知识点二 椭圆的标准方程

动点不存在，因此轨迹不存在 思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？

思考2 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？

梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式

x2y2

形式一：2＋2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在______上的椭圆的标准方程，其中b2＝

aba2－c2.

y2x2

形式二：2＋2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2

ab－c2.

(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

椭圆在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 a，b，c的关系

(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标

判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁y2x2

大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，

54焦距|F1F2|＝2.

y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2F1(0，－c)，F2(0，c) x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2F1(－c,0)，F2(c,0) b2＝a2－c2

类型一 椭圆的定义解读

例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹. 引申探究

若将本例中圆C的方程改为x2＋y2－6x－27＝0呢？

反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.

跟踪训练1 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. 类型二 求椭圆的标准方程

命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程

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例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程.

332引申探究

x2y2

求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.

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反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).

x2y2x2y2

(2)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆

aba＋λb＋λy2x2y2x2

＋2＝1(a>b>0，b2>－λ). 2＋2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为2aba＋λb＋λ跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；

(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).

命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程

例3 已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.

反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.

4525跟踪训练3 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，33过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.

类型三 椭圆中焦点三角形问题

y2x2

例4 (1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求

54△F1PF2的面积；

x2y2

(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小.

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