2015年衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷

∴CE为⊙O的切线． （2）四边形AOCD是菱形；理由如下：

∵点C、D为半圆O的三等分点

∴∠AOD＝∠COD＝60° ∵OA＝OD＝OC

∴△AOD和△COD都是等边三角形 ∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD ∴四边形AOCD是菱形． 27．（本小题满分10分）

如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y?x?1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y?x的交点称为抛物线的不动点．

若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m）， 当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

解：（1）∵点A是直线y?x?1与x轴的交点，∴A点为（-1，0） ∵点B在直线y?x?1上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）

∵过点A、B的抛物线的顶点M在y轴上，故设其解析式为：y?ax2?c ∴??a?c?0?a?1，解得：?

c??14a?c?3?? ∴抛物线的解析式为y?x2?1．

（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：

作BC⊥x轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；

点M是抛物线y?x2?1的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°； ∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．

（3）将抛物线的顶点平移至点（m，2m），则其解析式为y??x?m??2m． ∵抛物线的不动点是抛物线与直线y?x的交点，∴?x?m??2m?x 化简得：x??2m?1?x?m?2m?0

22222 ∴?＝????2m?1????4?1?m?2m＝?4m?1

2?? 当?4m?1?0时，方程x??2m?1?x?m?2m?0总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点

22 ∴m?1． 428．（本小题满分10分）

如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t． （1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；

（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；

（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小． 解：（1）如图，作ME⊥x轴于点E，则∠MEP＝∠POC＝90° ∵PM⊥CP，∴∠CPM＝90°；

∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90° ∴∠MPE＝∠PCO，∵PM＝CP

∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME＝PO＝t ∴OE＝4＋t； ∴点M的坐标为（4＋t，t）． （2）线段MN的长度不变．理由如下：

由题意知：OA＝OB＝4，∴点B坐标为（4，4），∴直线OB的解析式为y?x ∵MN∥OA，点M为（4＋t，t），点N的坐标为（t，t） ∴MN＝?4?t??t＝4，即线段MN的长度不变． （3）由（1）知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90° ∴△DAP∽△POC，∴

ADAP， ?OPOC∵OP＝t，OC＝4，∴AP＝4－t ∴

t?4?t?AD4?t，∴AD＝ ， ?4t4t?4?t?4t2?4t?16＝

4∴BD＝4?∵MN∥OA，AB⊥OA；∴MN⊥BD ∵S四边形BNDM＝

1MN?BD 2∴S＝∵t?12t?2t?8 21?0，∴S有最小值， 2?2?2时，S最小值＝6． 12?2且当t??