三角函数与解三角形、平面向量解答题

三角函数与解三角形、平面向量解答题(1)(45分钟)

1. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（其中x∈R，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示．如果对函数g（x）的图象进行如下变化：横

fx）坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到（函数的图象，

则函数g（x）的解析式是______ ．

2

2. 已知函数f（x）=4sinx?cos（2+4）-cos2x．

????

f2x）]上的值域；（1）将函数y=（的图象向右平移6个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[12， 2（2）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足b=2，f（A）= 2?1， 3a=2bsinA， B∈（0，2），求△ABC的面积．

1

)??? =(????????，?1)， ??=( 3????????，?)，函数??(??)=(??3. 已知向量?? +?? ?1． 2

??

??????

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若??(2)=2，a=2，求b+c的取值范围．

??

3

第1页，共6页

4. 图所示，四边形ABC，已知AC= 6+ 2，D=2 2，D=2 3，D∥BC． snBAC+sin∠BC取得最大值时，求四边BC的面积． 5. 已知函数f（x）=sinx???????(???6)+??????2???2． （1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心．

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=2，b+c=3，求a的最小值．

B分别在射线CM、CN∠MCN=3π，6. 已知A、（不含端点C）上运动，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．

（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；

∠ABC=θ，（Ⅱ）若c= 3，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

第2页，共6页

2

1

??

1

三角函数与解三角形、平面向量解答题

答案和解析

【答案】

1. g（x）=2sin（4x+3） 2. 解：(1)??(??)=4???????????????2(+)???????2??

=4?????????

??

1+??????(??+)

2

2??

????

24

2

???????2??…1分

=2sinx-2sin2x-cos2x=2sinx-1，…2分

∴函数f（2x）=2sin2x-1的图象向右平移6个单位得到函数 g（x）=2sin2（x-6）-1=2sin（2x-3）-1的图象，…4分 ∵x∈[12，2]，∴2x-3∈[-6，3]，

当x=12时，g（x）min=-2；当x=12时，g（x）max=1，所求值域为[-2，1]．…6分 （2）由已知 3a=2bsinA及正弦定理得： 3sinA=2sinBsinA，…7分 ∴sinB= 3，∵0＜??＜2，∴B=3，…8分

2

2由f（A）= 2-1，得sinA= ．…9分

2

又a=b＜b，∴A=4，…10分

326由正弦定理得：a= ，…11分

3

6+ 23+ 3∴S△ABC=absinC=1×2 6×2×=．…12分

2

2

3

4

3

12??

??

??

??

5??

??

??

??

??

2??

??

??

??

)???3. 解：（Ⅰ）∵??(??)=(?? +?? ?1=(????????+ 3????????)????????+(?2)?(?1)?1 =??????2??+ 3????????????????+=1(1???????2??)+ 3??????2??+1=??????(2???6)+1．

22

2

2

1

??

3

∴??(??)=??????(2???6)+1．

由?2+2????≤2???6≤2+2????，??∈??，得?3+2????≤2??≤即?6+????≤??≤3+????，??∈??，

∴函数f（x）的单调递增区间为[?6+????，3+????]，??∈??； （Ⅱ）由??(2)=2，得??????(???6)+1=2 ∴??????(???6)=2， ∴???6=6+2????，??∈??或???=

6

??

??

??

5??6

??

3

??

3

??

1

??

??

??

??

??

??

??

??

2??3

??

+2????，??∈??，

+2????，??∈??，

第3页，共6页

即??=3+2????，??∈??，或A=π+2kπ，k∈Z， ∵0＜A＜π，∴??=3．

22222

由余弦定理得a=b+c-2bccosA，即4=b+c-bc，

??

??

∴(??+??)2=4+3????≤4+3(即b+c≤4． 又∵b+c＞a=2， ∴2＜b+c≤4．

??+??2

)， 2

4. 解：△AD中，由弦定理得：cos∠DA=????

??

??

2+????2?????2

2???????

=4+4 31

=． 8+8 32

∠DAC=3． ∴当=3时in∠BACsi∠ABC取得最大值． ∠BAC+∠BC=． 此时∠BACB=3．∴△BC等边三角形． 3∴S△AC=2×22??????3= 3．

S△AD=????????????∠??????=1×( 6+ 2)×2 2× 3=3+ 3．

2

2

2

11

??

2??

??

四边ACD的面积为S=S△AC+S△AC3+2 3．

3cosx+????????）+cos2x? 5. 解：（1）f（x）=sinx???????(???6)+??????2???2=sinx（

222

??

1

1

1

= 3??????2??+1+??????2??=??????(2??+)+ 264

4

4

1??1

令：?2+2????≤2??+6≤2+2????（k∈Z）解得：?????3≤??≤????+6 即函数的单调递增区间为：[?????3，????+6]（k∈Z） 令：2??+6=???? 解得：??=

????

??

??

????2??

??

??????????

?12（k∈Z）

1

??

即函数的对称中心为：(2?12，4)（k∈Z） （2）利用函数f（x）=2??????(2??+6)+4 则：f（A）=2??????(2??+6)+4=2则：??????(2??+6)=2 由于：0＜A＜π 解得：A=3

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=3，

所以利用余弦定理得：

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc 因为：????≤(

??+??2

) 2

??+??29

)=4 2

??

1

??

11

??

1

1

??

1

则：(??+??)2?3????≥(??+??)2?3(进一步求得：??2≥4

9

第4页，共6页