2015辽宁省理科数学二模评分标准

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?ex?(?e?1)x，f?(x)?ex?(?e?1)

f(x)的单调增区间为?ln(e?1),???；

f(x)的单调减区间为???,ln(e?1)?．??????????????3分

(Ⅱ)g?x??(1?)e?(a?e?1)x?1，g??x??(1?x)e?(a?e?1)

2222xxx1111?g???x???xex?0，∴g??x?在x?[1,??)单调递增，

21g??x??g??1??(a?e?1)?0，a?e?1．??????????????6分 2（Ⅲ）假设函数g?x??e?ax??a?e?1?x?1在区间?0,1?上有零点，

x2即存在x??0,1?，使得e?ax??a?e?1?x?1?0

x2 5

ex?ex?x?1ex?ex?x?1即a?，记h?x??， 22x?xx?xex?ex?x?1ex?ex?x?1ex?x2?ex?2x?1?1??1?0即?0 ①若h?x??x2?xx2?xx2?x由于x??0,1?，有x2?x?0，

即证ex?x2?ex?2x?1?0在x??0,1?恒成立 令H?x??e?x?ex?2x?1，x??0,1?

x2H??x??ex?2x?e?2，H???x??ex?2

当x??0,ln2?，H???x??e?2?0，当x??ln2,1?，H???x??e?2?0，

xx所以当x??0,ln2?，H??x?单调递减，当x??ln2,1?，H??x?单调递增， 而H??0??1?0?e?2?0，H??1??e?2?e?2?0，

H??ln2??eln2?e?2ln?2?4?e?2ln2?0

故在?0,ln2?上存在唯一的实数x0使得H??x0??0

所以，在?0,x0?上H?x?单调递增，在?x0,1?上H?x?单调递减. 而H?0??1?0?0?0?1?0，H?1??e?1?e?2?1?0，

故H?x??0在?0,1?成立，

ex?ex?x?1?1成立. ??????????????9分 即h?x??x2?x

ex?ex?x?1ex?ex?x?1?e?2???e?2??0即②若h?x??22x?xx?x 6

ex?ex?x?1??e?2??x2?x?ex?ex?x?1h?x???e?2??0

x2?xx2?x由于x??0,1?，有x2?x?0，

x2即证e?ex?x?1??e?2?x?x?0在x??0,1?恒成立 x2x2令H?x??e?ex?x?1??e?2?x?x?e??e?2?x?x?1

????H??x??ex?2?e?2?x?1，H???x??ex?2?e?2?

当x?0,ln2?e?2?，H???x??0，当x?ln2?e?2?,1，H???x??0，

所以当x?0,ln2?e?2?，H??x?单调递减，当x?ln2?e?2?,1，H??x?单调递增， 而H??0??0,H??1??3?e?0

在ln2?e?2?,1上存在唯一的实数x0使得H??x0??0 所以，在?0,x0?上H?x?单调递减，在?x0,1?上H?x?单调递增. 又H?0??0，H?1??0，

??????????ex?ex?x?1?e?2成立. 故H?x??0在?0,1?成立，即h?x??x2?x由①②，可得，a??e?2,1?，即存在零点. ??????????12分 (22)解：（Ⅰ）?AB?AC,AF?AE，?CF?BE。

又?CF?CD,BD?BE，?CD?BD又??ABC是等腰三角形,

?AD是?CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上．5分

（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径， ??DFH?90,??FDH??FHD?90，

????FDH??G，??G??FHD?90?，??O与AC相切于点F， ??AFH??GFC??FDH，??GFC??G，?CG?CF?CD，

7

∴点C是线段GD的中点． 10分

(23)解：（1）曲线C1的直角坐标方程为(x?2)2?y2?4，所以C1极坐标方程为

??4cos?

曲线C2的直角坐标方程为x2?(y?2)2?4，所以C2极坐标方程为??4sin? 4分

（2）设点P极点坐标(?1,4cos?)，即?1?4cos?

点Q极坐标为(?2,4sin(???)) 即?2?4sin(??)

66?则|OP|?|OQ|??1?2?4cos??4sin(???6)=16cos??(31sin??cos?) 22?8sin(2??)?4 8分

6???7????(0,)，?2???(,)，

2666当2????6??2,即???6时|OP|?|OQ|取最大值，此时P极点坐标(23,?6)．10

分

(24)解：（I）?|2a?b|?|2a?b|?|2a?b?2a?b|?4|a|对于任意非零实数a和b恒成立，

当且仅当(2a?b)(2a?b)?0时取等号，

?|2a?b|?|2a?b|的最小值等于4．

|a| 5分

（II） ?|2?x|?|2?x|?|2a?b|?|2a?b|恒成立，故|2?x|?|2?x|不大于

|a|

|2a?b|?|2a?b|的最小值,由（I）可知|2a?b|?|2a?b|的最小值等于4．

|a||a|实数x的取值范围即为不等式|2?x|?|2?x|?4的解．

解不等式得?2?x?2.

10分

8