北京邮电大学出版社 《大学物理学》上册 主编 赵近芳 主审 颜晓红

习题解答 习题一

1-1 ｜?r｜与?r 有无不同?

drdrdvdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?dtdtdtdt试举例说明．

解：（1）

???r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r?r2?r1；

（2）

drdrds是速度的模，即. ?v?dtdtdtdr只是速度在径向上的分量. dt?（式中r?叫做单位矢）∵有r?rr，则

式中

?drdrdr??r ?rdtdtdtdr就是速度径向上的分量， dt∴

drdr与不同如题1-1图所示. dtdt题1-1图

?dvdv?dv (3)表示加速度的模，即a?，是加速度a在切向上的分量.

dtdtdt∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以

????dvdv?d? ???vdtdtdtdv就是加速度的切向分量. dt???d??dr与(?的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt式中

1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

d2rdr出r＝x?y，然后根据v =，及a＝2而求得结果；又有人先计算速度和加速度

dtdt22的分量，再合成求得结果，即

?dx??dy? v=?????及a=

?dt??dt?22?d2x??d2y???dt2?????dt2?? 你认为两种方法哪一种????22正确？为什么？两者差别何在？

???r解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有?xi?yj，

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt 2?22??drdxdy?a?2?2i?2jdtdtdt故它们的模即为

?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y22x2y22?d2x??d2y?a?a?a???dt2?????dt2??????2

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drv?dtd2ra?2

dtdrd2rdr其二，可能是将与2误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，

dtdtdtd2r而只是速度在径向上的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

dt2?d2r??d???的一部分?a径?2?r?或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即??。

dtdt????????量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

x=3t+5, y=

12

t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

?12??解：（1） r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm

2(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm ??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j

?????????rr4?r012i?20j∴ v????3i?5jm?s?1

?t4?04????dr(4) v??3i?(t?3)jm?s?1

dt????1则 v4?3i?7j m?s ??????v?3i?3j,v?3i?7j (5)∵ 04??????vv4?v04???1jm?s?2 a??t44???dv(6) a??1jm?s?2

dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以

v0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知 l?h?s

将上式对时间t求导，得

222 2ldlds?2s dtdt 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ v绳??即 v船??dlds?v0,v船?? dtdtvdsldll???v0?0 dtsdtscos?lv0(h2?s2)1/2v0?或 v船? ss将v船再对t求导，即得船的加速度

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtss 2l2(?s?)v022hv0s??s2s3s1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ a??12?2dvdvdxdv??v dtdxdtdx2分离变量： ?d??adx?(2?6x)dx 两边积分得

12v?2x?2x3?c 2由题知，x?0时，v0?10,∴c?50

∴ v?2x3?x?25m?s?1

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s，开始运动时，x＝5 m，=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置． 解：∵ a??2v

dv?4?3t dt分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得 v?4t?由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0

32t?c1 2